一、选择题。
1．设集合，则中元素的个数为 （
a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 大于3个。
2．某次数学测试分为选择题与非选择题两部分，
右边的散点图中每个点表示一位学生在。
这两部分的得分，其中表示该生选择题得。
分，表示该生非选择题得分，设表。
示该生的总分，现有11位学生的得分数据，根据散点图，下列判断正确的是（ ）
a.的方差《的方差 b.的中位数》的中位数。
c.的众数《的众数 d.的中位数=的中位数+的中位数。
3．已知表示不超过x的最大整数，如，若是方程的实数根，则。
a. b. c. d.
4．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递减区间是。
a. b.
c. d.
5．若映射，满足：且。
那么的值为。
abcd．
6．已知四边形，是的垂直平分线，垂足为，为直线外一点．设向量，，则的值是 （
a. b. c. d.
7．是一个常数，函数的值域不可能是。
a. b. c. d.
8．若，，则的大小关系为。
a. b. c. d.
9．求。ab. c. d.
10．若函数有两个不同的零点，,那么在两个函数值中。
a.只有一个小于b.至少有一个小于
c.都小于d.可能都大于。
二、填空题：
11．已知集合，，若，则实数的取值范围是 .
12．设，则 .
13．如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 .
14．在标有数字的12张大小相同的卡片中，依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍数的概率是 .
15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，，若且，则点所有可能的位置所构成的区域面积是 .
16．某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：
函数在上单调递增，在上单调递减；
点是函数图像的一个对称中心；
函数图像关于直线对称；
存在常数，使对一切实数均成立．其中正确的结论是 .
17．已知数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数的取值范围是 .
三、解答题：
18．（本题满分15分） 已知向量，设函数，
1）求的单调区间；
2）若在区间上有两个不同的根，求的值。
19．（本题满分16分）已知正实数，设，.
1）当时，求的取值范围；
2）若以为三角形的两边，第三条边长为构成三角形，求的取值范围。
20．（本题满分20分）设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：
1）任意，有，当时，且；
试求：（1）证明：任意，，都有；
2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由。 （阶乘定义：）
高一数学竞赛试题答案。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．b 解：，得： 共2组，选b
2．b 解：根据图像可知中位数为40，的中位数大概在34左右，选b
3．c 解：由是方程的实数根，易得。
令函数，则函数在上是增函数（不是严格增函数）
当时，则 ，，
当时，则 ，
当时， 则 ，,
当时， 则 ，,选c
4．b 解：相邻交点的中点的横坐标分别为3，6，则周期，
又，当时，取最大值，即 ，，
的单调递减区间为选b
5．b 解：由，可知。
若，则，与矛盾，不可能；
若，则。若，则与矛盾，不可能。
选b6．b 解：
选b7．d 解：，
当时，；当时，
当时，; 选d
8．a 解：，
又由，得，
选a9．a 解：
=， 选a另解：（利用诱导公式配对求和）
10．b 解：（用特殊值来排除）令，，则；
令，，则，．选b
另解：设，则。
，所以，至少有一个小于．选b
解， 输出。
解：按被3除的余数进行分类，，，
依次取出不同的三个数，使它们的和恰好是3的倍数的概率。
解：作， 为中点，则在内，面积为。
解：为奇函数，则函数在，上单调性相同，所以错；
所以错； ，所以错；
令，所以对． 选。
解：由，得：
即。设的平均数为，的平均数为，则。
结合方差定义
展开得： 即 ，同理。
得： ，即
得。另解：（运用柯西不等式）
设的平均数为，的平均数为，则。
由，得： ，即
得。18． （本题满分15分）已知向量， 设函数。
1）求的单调区间；
2）若在区间上有两个不同的根，求的值。
解：（1）令，当时，，且为减函数。
又在上时减函数，在上是增函数。
当时，，且为减函数。
又在上时增函数，在上是减函数。
综上，的单调区间为，
2）由得，，即。
令，则是方程的两个根，从而。
另解：由得，，即。
不妨设则。19．（本题满分16分）已知正实数，设，.
1）当时，求的取值范围；
2）若以为三角形的两边，第三条边长为构成三角形，求的取值范围。
解：（1）由题设知，，且。
所以， 又
结合二次函数的图像知
故的取值范围为。
另解： 得的取值范围为。
2）设，则。
恒成立，即，
恒成立。令，由于在是增函数，令，则。
又。得的取值范围为。
20．（本题满分20分）设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：
1）任意，有，当时，且；
试求：（1）证明：任意，，都有；
2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由。
解：1）当时，，，
若，则得，不可能，舍去
当时，，得，
若，则，同理，若， 任意，，都有。
由（1）可得为单调减函数。
得。相乘得： …
又由式得：
相加得：， 由于当时，能被25整除。
综上，存在正整数，当或时，是25的倍数。
高一数学竞赛试题
6.若a为参数，函数f x x a x a 38 x 3a是偶函数，则a可取值的集合为。a 二 填空题 满分64分，每小题8分。请将答案填入下面的空格中 1.依次排列的正数b1,b2,b3,b59,b60满足 试确定log b1b2b3 b60 值。2.已知sin 0.8,cos 0.3,求 sin...
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛模拟试题 财经类 学校姓名准考证号码。一 选择题。1 在数列中，则的值为 a 52b 51c 50d 49 2.若 2,与的夹角为60度，则等于 a.b c d 3 给出下列命题 其中正确的命题是 a b c d 4.某企业年初资产总额为126000元，负债总额为48000元，本年度取得...
高一数学竞赛试题
彬县中学高一数学竞赛试题。一 选择题 本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2013课标全国 理1 已知集合m n 则m n a b c d 2 垂直于同一条直线的两条直线一定 a 平行 b 相交 c 异面 d 以上都有可能。3 如果一组数中每个数减去...