2024年六安中学“三元杯”高一数学竞赛试题。
总分：150分时间：120分钟命题人：方杰。
一、选择题（每小题5分，共50分。每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入指定的地方）
1．已知a=，b=，c=，那么a、b、c关系是（ ）
a．b=a∩c b．b∪c=c c．ac d．a=b=c
2.的值为。
a．-16b. 16cd.
3. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 （
a．a≤－3 b．a≥－3 c．a≤5d．a≥3
4. 若y=log56·log67·log78·log89·log910,则有。
a. y (0 , 1) b . y (1 , 2 ) c. y (2 , 3 ) d. y=1
5. 要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象。
a．向左平移个单位b.同右平移个单位。
c．向左平移个单位d.向右平移个单位
6. 在△abc中，d、e、f分别bc、ca、ab的中点，点m是△abc的重心，则。
等于。a． b． c． d．
7. 若数列的通项公式为，且=9，则m等于。
a.9b.10c.99d.100
8.在△abc中，2cosbsina=sinc，则△abc的形状是。
a.等边三角形b.等腰三角形。
c.等腰直角三角形d.直角三角形
9. 设函数对的一切实数均有，则等于( )
a.2006b.2008 c.2010 d.2012
10. 已知，则在下列四个选项中，表示的图像只可能是( )
二、填空题（每小题5分，共25分）
11.函数的一个零点为1，则它的另一个零点为
12.设扇形的周长为16cm，面积为16，则该扇形的圆心角的弧度数为。
13. 函数的最大值为。
14.若点a(1,-3)、b(8,)、c（，1）共线，则。
15.关于函数f(x)＝4sin(2x＋),x∈r)有下列命题：
y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
y＝f(x)可改写为y＝4cos(2x－)；
y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；
④ y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；
其中正确的序号为。
2024年六安中学“三元杯”高一数学竞赛试题。
答题卷。姓名班级考号得分：
一、 选择题（每小题5分，共50分）
二、 填空题（每小题5分，共25分）
三、 解答题（共75分）
16、（本题12分）
已知向量 （1）当与平行时，求；
2）当与垂直时，求。
17、（本题12分）
已知函数 （1）判断函数的单调性，并证明；
2）求函数的最大值和最小值．
18、（本题12分）已知等差数列中，是其前项和，求：及。
19、（本题12分）已知函数y=asin(ωx+φ)a>0,ω>0，|φ的一段图象如图所示。
1）求函数的解析式；
2）求这个函数的单调增区间。
20. （本题13分）通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间。 讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散。
分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位分）可以用公式：
1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？
2）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
21、（本题14分）如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，，其中，．
1）求表达式的值，并说明理由；
2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值。
参***。一、adcba ccbab
二 15、②③
三、16（1）， 2）或-2
17解：⑴ 设任取且。
即在上为增函数。
18设等差数列的公差为，则解得，
19解：（1）由图可知a=3
t==π又，故ω=2
所以y=3sin(2x+φ)把代入得：
故，∴，k∈z
|φ|故k=1
2）由题知。
解得： 故这个函数的单调增区间为，k∈z
20. （1）当时，=，故其递增，最大值为，显然在上，递减，，因此开讲后10分钟达到最强的接受状态，并维持6分钟。
2）当时，令，得；当时，令，得；因此学生达到55的接受能力的时间为，教师来不及在学生达到最佳接受状态时就结束讲授。
21、解：（1）如图延长ag交bc与f， g为△abc的中心。
f为bc的中点，则有 ，
即。d、g、e三点共线。
故 ＝3 2）△abc是边长为1的正三角形， s＝mn
由=3，0＜m1,0s＝mn＝
设t=m-则m=t+（）s=mn=（t++）
易知在为减函数，在为增函数。
t=，即，时，取得最小值，即s取得最小值…
又， 取得最大值是，
则s取得最大值，此时或…
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