彬县中学高一数学竞赛试题。
考生注意：全卷共19道题，考试时间为120分钟）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合，，则（ ）
a. b. c. d.
2.从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张**相同的概率为。
abcd）3. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
4.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
a． b． c． d．
5.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）
a．h2＞h1＞h4 b．h1＞h2＞h3 c．h3＞h2＞h4 d．h2＞h4＞h1
6.设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
ab．2c． d．4
7.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ ）
a.在区间上是增函数，区间上是增函数。
b.在区间上是增函数，区间上是减函数。
c.在区间上是减函数，区间上是增函数。
d.在区间上是减函数，区间上是减函数。
8.已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（ ）
9.若p是两条异面直线外的任意一点，则（ ）
a．过点p有且仅有一条直线与都平行 b．过点p有且仅有一条直线与都垂直。
c．过点p有且仅有一条直线与都相交 d．过点p有且仅有一条直线与都异面。
10.阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（ ）
a．2500，2500 b．2550，2550
c．2500，2550 d．2550，2500`
11.设函数，则（ ）
a．在区间上是增函数b．在区间上是减函数。
c．在区间上是增函数d．在区间上是减函数。
12.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表。
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、若函数f(x) =的定义域为r，则a的取值范围为___
14.函数的图象为，如下结论中正确的是写出所有正确结论的编号）．
图象关于直线对称；
图象关于点对称；
函数在区间内是增函数；
由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．
15.已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ．
16.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 。
三、解答题（17. 18题每小题20分，19小题30分。共70分）
17.已知函数。
1）判断函数的奇偶性；
2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
19.四棱锥s－abcd中，底面abcd为平行四边形，侧面sbc⊥底面abcd。已知∠abc＝45°，ab＝2，bc=2，sa＝sb＝。
ⅰ)证明：sa⊥bc；
ⅱ)求直线sd与平面sab所成角的正弦值；
19.已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围。参***。
17、解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数。
2）设， 由得，
要使在区间是增函数只需，即恒成立，则。
18、解答：解法一：
ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得．
ⅱ）由（ⅰ）知，依题设，故，由，，，得。
的面积．连结，得的面积。
设到平面的距离为，由于，得。
解得．设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为。
19、解：若， ,显然在上没有零点， 所以。
令， 解得
①当时， 恰有一个零点在上；
②当，即时，在。
上也恰有一个零点。
③当在上有两个零点时， 则。
或。解得或。
综上所求实数的取值范围是或 .
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