第一讲分式的运算。
知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
例题选讲]例1．化简 + 解：原式。
例2． 已知且xyz0，求分式的值。
解：易知则 （1）+（2）+（3）得：(ｋ2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0
若ｋ=2则原式= k = 8 若 ｘ+0，则原式= k =-1
例3．设 =1，求的值。
解：显然x，由已知 =1 ，则 x + 1x +)2 –ｍ
( ｍ1)-2- ｍ2ｍ -1 ∴原式=
例4．已知多项式3x3 +ax +3x +1 能被x+1整除，求ａ的值。解：
例5：设ｎ为正整数，求证。
证：左边=（1
n为正整数，∴ 1
1- ＜1 故左边＜
小结归纳]1、部分分式的通用公式。
2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为k，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。
巩固练习]1、若分式的值是正整数， 则整数m
2、若。则k= 。
3、已知a-3b = 2ab .(a＞0，b＞0),则。
4、已知a、b、c是有理数，且=， 则。
5、若 - 2006，则。
6、实数a、b满足ab=1，设a = b= +1，则a、b的关系。
为。7、当ａ、ｂ为何值时，多项式能被除数整除？
8、计算。9、已知= +求a、b、c的值。
10、若对于3以外的一切实数x，等式 - 均成立，则mn
11、已知 = 则。
第二讲分式方程及应用。
知识点击]1、 解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；
2、 解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；
3、 分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。
例题选讲]例1． 解方程组
分析：令 =m, =n ,则。
可得： 易求：
例2． 解方程。
解：原方程可化为。
两边分别通分： ，易求：ｘ 4
例3． 当ｍ为何值时，关于x的方程的解为正数？
解：解方程可得：x=，需可得ｍ＜1 且m≠-3。
例4． 设库池中有待处理的污水a吨，从城区流入库池的污水按每小时b吨的固定流量增加，若同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时启动4台机组需10小时处理完污水，若要求在5小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？
解：设1台机组每小时处理污水y吨，要在5小时内处理完污水， 至少同时开动x台机组，则：
可得 x≥
例5． 求证对任意自然数n，有＜2
证明：当n=1时，1＜2显然成立。
当ｎ＞1时，ｎ（1）＜ｎ
所以＜ 故：＜
点评归纳]1、 当某个代数式在一个问题中多次反复出现时，我们可以把这个代数式当作一个整体去替换，使问题简化；
2、 假分式构成的分式方程一般先分离整数， 然后等式两边分别通分可解。
3、 解分式方程要注意验根，在求分式方程中待定字母的值时往入容易忽略这一点。
巩固练习]1、某同学用一架不等臂天平称药品， 第一次将左盘放入50g砝码，右盘放药品使天平平衡，第二次将右盘放入50g砝码，左盘放药品使天平平衡，则两次称得药品总质量（ ）
a、等于100g b、大于100g c、小于100g d、都有可能。
2、用大小两部抽水机给麦田浇水，先用两部抽水机一起抽水2小时， 再用小抽水机单独抽水1小时即可浇完， 已知单独用小抽水机所用时间是大抽水机单独抽水所需时间的倍，求两部抽水机单独浇完这块麦田各需多少小时？
3、解方程 =
4、解方程。
5、某工厂将总价2000元的甲种原料与总价4800元的乙种原料混合后，其平均**比原甲种原煤料每斤少3元，比原乙种原料每斤多1元，问混合后的单价。
6、自然数m、n是两个不同质数，且m+n+mn的最小值为p，则。
7、已知有因式，则。
8、求的最大值。
第三讲一元二次方程的解法。
知识点击]1、 一元二次方程的常规解法有：直接开平方、配方法、因式分解及求根公式法。
2、 对于复杂的一元二次方程往往要借助换元法、和差构造法等。
3、 含有字母系数的一元二次方程一般要分类型讨论。
4、 设而不求是研究一元二次方程公共解的基本方法。
例题选讲]例1． 解方程。
解：令，则 =,解得，即或，解得。
例2． 解方程 - 1解7
又 - 1②
易知：x=1 x=
例3：已知m是方程x -2007x+1=0的一个不为o的根。
求 ｍ 2006m+的值。
解：∵ｍ为方程的非零根，∴ｍ2007ｍ+1=0
可得ｍ =2007ｍ-1，ｍ+2007，ｍ+1=2007ｍ
原式=2007ｍ-1-2006ｍ+=1=2007-1=2006
例4、设ａ、ｂ为实数，那么a+ab+b-ａ-2b的最小值为多少？
解：原式：=a+（b-1）a+（b-2b）
a+） b-1）-1
当a=o b=1时，最小值为-1
例5：解方程ｍ（x-x+1）-ｍx-1）=（1）ｘ
解：原方程整理为：ｍ（1）ｘ-2ｍ-1）ｘ+1）=0
ｍｘ-m + 1）[（1）ｘ-0
x=ｍ+1 或（ｍ-1）ｘ=
1） 当ｍ≠0，ｍ≠1时，x1=，x2=
3） ｍ1时ｘ=2
例6：方程（2007ｘ）2 -2006×2008x-1=0的较大根为ｍ，方程2006x-2007x+1=0的较小根为ｎ,求ｎ-ｍ的值。
解：方程①可化为(2007x+1)(x-1)=0
x=- x=1 ∵ x＞x1 ∴m=1
方程②可化为(2006x-1`)(x-1)=0
x1 =-x=1 ∵x1 ＜x∴ｎ=
n - m = 1=-
点评归纳]1、 有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。
2、 含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数，这时通常可用平方差公式构造两个无理式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简化并求解。
3、 一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用。
巩固练习]1、 解方程：2x+-3x
2、解方程。
3、解方程：x-|2x-1|-4
4、三个二次方程a x+bx+c=0，b x+ｃｘ0，c x+ａｘ0
有公共根，求证ａ+ｂ0
5、 已知a、b、c均为实数，且满足+|ｂ1|+(2)=0
试求方程a x+ｃｘ0的解
6、 求证方程（ａ-x+（ｂx +ｃ0（a≠b）有一个根为1
7、设方程x+px+q=的两根为x1、x2，且i1 =x1 + x2 i2=x+x……
in = x+ x则当n≥3时，求in +pin-1+qi n-2+的值。
8、证明：不论x为何实数，多项式2x4 - 4 x2 - 1的值总大于x4-2x2-4的值。
9、已知a-4a+b-+=0，则a-4=
10、已知m、n为有理数，方程x2+mx+n=0有一个根为-2，求m+n的值。
11、已知ｍ=ｍ5，ｎ=5，ｍ≠求ｍ5+ ｎ5的值。
12、二次方程a（x+1）（x+2）+b（x+2）（x+3）+c（x+3）（x+1
13、解关于x的方程（ｍ-1）x2 + 2ｍx+ｍ+3=0
第四讲根的判别式及根与系数的关系。
知识点击]、设一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、 x2，则ax+bx+c = a（x- x1）（x- x2）= ax-ａ（x1+ x2）x+ａx1x2
x1+ x2= -x1 x2= 这两个式子即为一元二次方程。
根与系数的关系。要注意，方程有两个实数根是两根关系式存在的前提，即通常要考虑ａ≠0 、 0这两个前提条件。
2、 一元二次方程根的判别式源自求根公式，常记作△=b-4ac，使用的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0，它是解决一元二次方程整数解的工具。
3、 使用根的判别式及根与系数的关系时，常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重要知识与方法。
例题选讲]例1：已知一直角三角形三边分别为a、b、c，∠b=90°，那么关于x的方程a（x-1）-2cx+b（x+1）=0的根的情况如何？
解：方程整理为：（a+b）x-2cx+b-a=0
=4（c+ a-b）
∠b=90° ∴c+ a= b
△=0 ，原方程有两个相等实根。
例2：求所有正实数a，使得方程x-ax+4a=0仅有正整数根。
解：设方程的两个正整数根为x，y（x≤y）则
xｙ-4（ｘ+04）（ｙ4）=16
这时x=y=8 a=ｘ+16
这时 a=ｘ+18
初中数学竞赛辅导讲义
第一讲分式的运算。知识点击 1 分部分式 真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。2 综合除法 多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。3 分式运算 实质就是分式的通分与约分。例题选讲 例1 化简 解 原式。例2 已知且xyz0，求分式的值。解 易知...
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