2012初中数学能力竞赛。
笔试部分）时间：100分钟满分：120分。
一、填空（每空3分，共21分）
1、计算。2、某班学生要栽一批树苗，若每个人分配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有___名学生．
3、已知三个合数a、b、c两两互质，且，那么的最大值为。
4、在51个连续的奇数中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是___
5、如图1所示，在梯形abcd中，ab∥cd，对角线ac、bc相交于点o．已知ab5，cd3，且梯形abcd的面积为4，则三角形oab的面积为 ．
6、在图2所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同的汉字代表不同的汉字．若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，则“新中国”所表示的整数是 ．
7、若直线与直线的交点坐标是（，）则的值是。
8、有一只手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：30与准确时间对准，则当天上午手表指示的时间是10：50，准确时间应该是。
二、简答下列各题（第9题5分，第10题6分，第题各8分，第题各10分，共57分，要求写出简略过程）
9、若10个数据的平均数是，平方和是10，求方差．
10、已知，求的值．
11、在平面直角坐标系中，点p（m为实数）不可能在第几象限？
12、一个正方形的纸盒中，恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（圆周率取3.14）
13、如图3所示，在△abc中，ac＝7，bc＝4，d为ab的中点，e为ac边上一点，且∠aed＝90°＋∠c，求ce的长．
14、某校第一届数学竞赛在2024年举行，第二届在2024年举行，第三届是在2024年举行，以后每2年举行一届。第一届数学竞赛所在年份的各位数字和是：a1＝1＋9＋8＋6＝24。
前二届所在年份的各位数字和是：a2=1＋9＋8＋6＋1＋9＋8＋8=50
问：前50届数学竞赛所在年份的各位数字和a50＝？
15、已知，求下列各式的值：
三、详答下列各题（每题14分，共42分，要求写出详细过程）
16、a，b两地相距l25千米，甲、乙二人骑自行车分别从a，b两地同时出发，相向而行．丙骑摩托车每小时行63千米，与甲同时从a出发，在甲、乙二人间来回穿梭（与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回），若甲车速每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时（甲、丙同时出发的那一次为丙第0次回到甲处），甲、乙二人相距45千米．问：当甲、乙二人相距20千米时，甲与丙相距多少千米？
个三位数乘积的算式，（其中a＞b＞c）在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的．问：原式中的是多少？
18、对干自然数a，sa表示a的各位数字之和．求同时满足下列条件的所有的自然数：
1）a为奇数，且不是3的倍数；（2）＝m＜50，m为自然数．
2012初中数学能力竞赛笔试部分。
参***。一、填空。
解析】1、一般地，故原式2．
2、首先k是小于9的自然数，由盈亏问题，人数为3839k名，根据整除性，41是质数，约数只有，那么k8，人数为名．
3、，为使得三个合数的和最大，只需一个数尽可能大，其它两个数尽可能小，得到44915731626．
4、由于135871936，相差1949193613，不管把哪些数加上偶数，总的所加的和为偶数，不是奇数13，所以44个奇数相加不可能成立，43个可以是：35783851011949．
5、如图，根据梯形中的蝴蝶定理得到三角形oab的面积为．
6、首先考虑两位数乘以三位数得到的积为四位数，那么首位的乘积加上进位后也不能向前进位；再者48乘以21也要进位，故三位数的首位为1；第三，三位数的末位可以是，试填十位上的数字，得到481597632．
7、，解得，所以，，因此=2008．
8、设标准时间经过了小时，则，解得6小时40分．
二、简答题。
9、解：，则方差是．
10、解：由非负性可得：，原式=．
11、解：（1）当时，有或，所以或，因此或，即p经过第。
一、四象限．
2）当时，有或，所以，因此，即p经过第四象限．
综合得，p不经过第二象限．
12、解：圆柱的高与底面直径都等于正方体的边长，即6.28＝3.14×边长×
所以，即纸盒的容积是8立方厘米．
13、解：作bf∥de交ac于f，作∠acb的平分线交ab于g，交bf于h
则∠aed＝∠afb＝∠chf＋∠c
∠aed＝90°＋∠c，∴ chf＝90°＝∠chb
又 ∠fch＝∠bch，ch＝ch
△fch≌△bch，∴ cf＝cb＝4，
af＝ac－cf＝7－4＝3
ad＝db，bf∥de，∴ ae＝ef＝1.5，ce＝5.5．
14、解：按所给的规律，前50届在20世纪内有7次赛事，在21世纪内有43次赛事．在20世纪内，已知a2＝50，其余5届年份各位数字的和是：
5×(1＋9＋9)＋(1十3＋5＋7＋9)＝95＋25＝120；从而a7＝a2＋120＝170
在21世纪内的前45届年份的数字和是：2×45＋(1＋2＋3＋…＋8)×5＋(1＋3＋5＋7＋9)×9＝495，前43届年份的数字和是：495－2－8－7－2－8－9＝459，于是a50＝170＋459＝629．
15、解：（1）令，即可得；
2）比较两边系数，因为，所以；
3）再令，可得，与（1）中的结论相减再除以2，即可得．
三、解答题。
16、解：先求乙的速度，设乙的速度为甲的k倍，丙与乙相遇时甲行s千米，则这时丙行7s千米，乙行ks千米，于是7s＋ks＝125 ①
这时甲丙相距6s（＝7s－s）千米，丙第一次回到甲处时，甲又向前行6s＋(7＋1)＝s（千米），丙行s×7（千米），乙行s×k（千米），所以甲、乙相距s×7－s×k＝s(7－k) ②
即（将①代入②消去s）×125（千米）③
注】③中的125，如果改成其他数（例如a、a两地原来相距250千米）．推导完全一样，于是，在丙第二次回到甲处时，甲、乙相距××125（千米）④
推导与上面完全一样，只是125千米换成了×125千米）
根据已知条件：××125＝45 ⑤，即： ⑥
于是（只取正值）⑦，从而k＝，即乙的速度是每小时：×9＝7（千米）
当丙第三次回到甲处时，甲、乙相距×45＝××45＝×45＝27（千米）．
丙第四次回到甲处时，甲、乙相距×27＝＜20（千米）．
因此，甲、乙相距20千米发生在丙第四次回到甲处之前，即他们都应从丙第四次回到甲处这事往回倒退．由于20－＝，而甲、乙速度之比是9∶7，所以甲应退×，丙的速度是甲的7倍，所以丙应退甲的7倍．
从而在甲、乙相距20米时，甲丙相距××(1＋7)＝（千米）．
17、解：考虑除以9的余数，我们用x ≡ y (mod9)
表示x，y除以9的余数相同，也就是x－y是9的倍数，读作x与y模9同余，熟知一个自然数与它的数字和模9同余，所以234235286≡2＋3＋4＋2十3＋5＋2＋8＋6 ≡ 8(mod 9)
(a＋b＋c)3(mod 9)，于是(a＋b＋c)3 ≡ 8(mod 9)
从而（用a＋b＋c≡0，1，2，…，8代入上式检验）a＋b＋c ≡ 2，5，8(mod 9) ①
对a进行讨论。
如果a＝9，那么 b＋c≡2，5，8(mod 9) ②又c×a×b的个位数字是6
所以 b×c＝4×1＝7×2＝8×3＝6×4
其中只有(b，c)＝(4，1)，(8，3)符合②，经检验只有 983×839×398＝328245326 符合题意。
如果a＝8，那么 b＋c≡3，6，o(mod9) ③又b×c＝2×1＝4×3＝6×2＝7×6＝7×1，其中只有(b，c)＝(2，1)，符合③．经检验＝921，不合题意。
如果a＝7，那么 b＋c≡4，7，1(mod 9) ④又b×c＝4×2＝6×3，其中没有符合④的b、c
如果a≤6，那么＜700×600×500＝210000000＜222334586，因此这时不可能符合题意．综上所述，＝983是本题唯一的解．
18、解：如果a是一位数，那么（2）显然满足(＝1)，由（1），a＝1，5，7
如果a是两位数，设十位数字为x，个位数字为y，则，由于a不是3的倍数，所以sa也不是3的倍数．但＝m是自然数，所以是自然数，即9x被x＋y整除．因为sa＝x＋y不是3的倍数，即x＋y与9互质，所以x被x＋y整除．但a是奇数，所以y≠0，x＜x＋y，x不可能被x＋y整除，因此a不可能是两位数．
如果a是四位以上的数，设a＝1000x＋100y十10z＋u，其中y，z，u都是数字，x是自然数，则sa≤x＋y＋z＋u，由（2），1000x十100y＋10z＋u＜50(x＋y十z十u)．
于是950＜950x＋50y＜40z＋50u＜400＋500＝900矛盾，因此a不可能是四位以上的数．
如果a是三位数，设a＝100x＋10y＋10z，x、y、z都是数字，x≠0，则sa＝x＋y＋z，m＝．
与前面的推理相同，是奇数，而且由于m＜50，所以＜＜5，从而，＝1或3 ①，以下分两种情况来求①的解：
a) 10x－z＝x＋y＋z，即 9x＝y＋2z ②
在x＝1时，由②可得z＝1，y＝7或者z＝3，y＝3（注意a为奇数，所以z是奇数），其中第一组得出a＝117是3的倍数不合要求．
2 初中数学竞赛辅导 2
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