2023年全国初中数学竞赛试题参***。
一、选择题。
1．a解：因为，，，所以。
2. b解：（略）
3. d解：（略）
4．c解：由已知得于是。
5．b解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立。 由于实数的任意性，得。
6．d解：由。
可得。于是。
因此，当时，的最小值为．
7．c解：由题设可知，于是。
所以。故，从而．于是．
8．c解：两式相加，得，解得，或（舍去）．
当时，满足等式，故．
所以，实数t的所有可能值的和为1.
9．c解：如图，连接，设，则，从而有．因为，所以．
10．a解：当，因为。
所以 ，于是有，故的整数部分等于4．
二、填空题。
11．3＜m≤4
解：易知是方程的一个根，设方程的另外两个根为，则，．显然，所以。
≥0，即 ，≥0，所以。
≥0，解之得 3＜m≤4.
解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是。
解：如图，设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为因为点在双曲线上，所以．
由于， 又因为，于是。所以。即
解：由≥0，且≥0，得≤≤．
由于，所以当时，取到最大值1，故．
当或1时，取到最小值，故．所以，．
解：如图，设bc＝a，ac＝b，则。
又rt△afe∽rt△acb，所以，即，故。
由①②得。解得a＋b＝49（另一个解－25舍去），所以。
三、解答题。
16．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得。
两式相加得。
即。所以或。
解得或。又因为所以。
或者，故，或29.
17．证明：如图，延长交⊙于点，连接。
因为为⊙的直径，所以∠∠90°，故为⊙的直径。
于是。又因为点为△的垂心，所以
所以∥，∥四边形为平行四边形。
所以点为的中点。
18．解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为。
设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）
设直线的函数解析式为，并设的坐标分别为，.由。
得。于是 ，即。
于是 又因为，所以。
因为∠∠，所以△∽△故∠=∠
2）解法一设，，不妨设≥>0，由（1）可知。
所以。因为∥，所以△∽△
于是，即，所以．
由（1）中，即，所以。
于是可求得
将代入，得到点的坐标（，）
再将点的坐标代入，求得
所以直线的函数解析式为。
根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或。
解法二设直线的函数解析式为，其中。
由（1）可知，∠ 所以。
故 .将代入上式，平方并整理得。
即。所以或
又由 (1)得，.
若代入上式得从而。
同理，若可得从而。
所以，直线的函数解析式为，或。
19．解：如图，作△abq，使得。
则△abq∽△acp .
由于，所以相似比为2.
于是。由知，，于是．
所以，从而．于是。故。
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