2023年全国初中数学联合竞赛试题参***。
第一试。一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 设，则。
a.24. b. 25. cd..
2．在△abc中，最大角∠a是最小角∠c的两倍，且ab＝7，ac＝8，则bc
a.. b.. cd..
3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为。
a.1. b. 2. c. 3. d. 4.
4．设正方形abcd的中心为点o，在以五个点a、b、c、d、o为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （
a.. b.. cd..
5．如图，在矩形abcd中，ab＝3，bc＝2，以bc为直径在矩形内作半圆，自点a作半圆的切线ae，则cbed ）
a.. b.. cd..
6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是。
a.3. b. 4. c. 5. d. 6.
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是。
2． 设d是△abc的边ab上的一点，作de//bc交ac于点e，作df//ac交bc于点f，已知△ade、△dbf的面积分别为和，则四边形decf的面积为___
3．如果实数满足条件，，则___
4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有___对。
第一试答案： accbdb；－3，，－1，－7
第二试 （a）
一．（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为a、b，与轴的交点为c.设△abc的外接圆的圆心为点p.
1）证明：⊙p与轴的另一个交点为定点。
2）如果ab恰好为⊙p的直径且，求和的值。
解： （1）易求得点的坐标为，设，，则，.
设⊙p与轴的另一个交点为d，由于ab、cd是⊙p的两条相交弦，它们的交点为点o，所以oa×ob＝oc×od，则。
因为，所以点在轴的负半轴上，从而点d在轴的正半轴上，所以点d为定点，它的坐标为(0,1).
2）因为ab⊥cd，如果ab恰好为⊙p的直径，则c、d关于点o对称，所以点的坐标为，即。
又，所以。解得。
二．（本题满分25分）设cd是直角三角形abc的斜边ad上的高，、分别是△adc、△bdc的内心，ac＝3，bc＝4，求。
解作e⊥ab于e， f⊥ab于f.
在直角三角形abc中，ac＝3，bc＝4，.
又cd⊥ab，由射影定理可得，故，
因为e为直角三角形acd的内切圆的半径，所以＝.
连接d、d，则d、d分别是∠adc和∠bdc的平分线，所以∠dc＝∠da＝∠dc＝∠db＝45°，故∠d＝90°，所以d⊥d，.
同理，可求得，. 所以＝.
三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
证明：以为三边长可构成一个直角三角形。
证法1 将①②两式相乘，得，即，
即，即， 即，即，即，即，即，
所以或或，即或或。
因此，以为三边长可构成一个直角三角形。
证法2 结合①式，由②式可得，变形，得。
又由①式得，即，代入③式，得，即。
所以或或。结合①式可得或或。
因此，以为三边长可构成一个直角三角形。
第二试 （b）
一．（本题满分20分）题目和解答与（a）卷第一题相同。
二． （本题满分25分） 已知△abc中，∠acb＝90°，ab边上的高线ch与△abc的两条内角平分线 am、bn分别交于p、q两点。pm、qn的中点分别为e、f.求证：
ef∥ab.
解因为bn是∠abc的平分线，所以。
又因为ch⊥ab，所以。
因此。 又f是qn的中点，所以cf⊥qn，所以，因此c、f、h、b四点共圆。
又，所以fc＝fh，故点f在ch的中垂线上。
同理可证，点e在ch的中垂线上。
因此ef⊥ch.又ab⊥ch，所以ef∥ab.
三．（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第三题相同。
第二试 （c）
一．（本题满分20分）题目和解答与（a）卷第一题相同。
二．（本题满分25分）题目和解答与（b）卷第二题相同。
三．（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角。
解法1 将①②两式相乘，得，即，
即，即， 即，即，即，即，即，
所以或或，即或或。
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
解法2 结合①式，由②式可得，变形，得。
又由①式得，即，代入③式，得，即。
所以或或。结合①式可得或或。
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
2023年全国初中数学竞赛试题
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一 选择题 共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填 多填或错填都得0分 1 设，则代数式的值为。a 6b 24c d 2 在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是。abcd 3 在等边三...
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