2023年全国初中数学竞赛试题

“《数学周报》杯”2023年全国初中数学竞赛试题。

一、选择题（每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项）

1、设，则代数式的值为（）

a）24 （b）25 （c）（d）

2、对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）。如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）=（u，v），那么（x，y）为（）

a）（0，1）（b）（1，0）（c）（-1，0）（d）（0，-1）

3、若x>1，y>0，且满足xy=xy，，则x+y的值为（）

a）1 （b）2 （c）（d）

4、点d，e分别在△abc的边ab，ac上，be，cd相交于点f，设s四边形eadf=s1，s△bdf=s2，s△bcf=s3，s△cef=s4，则s1s3与s2s4的大小关系为（）

a）s1s3< s2s4 （b）s1s3=s2s4 （c）s1s3>s2s4 （d）不能确定。

5、设，则4s的整数部分等于（）

a）4 （b）5 （c）6 （d）7

二、填空题（每小题7分，共35分）

6、若关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是。

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是。

8、如图，点a，b为直线y=x上的两点，过a，b两点分别作y轴。

的平行线交双曲线（x>0）于c，d两点。若bd=2ac，则的值为___

9、若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为。

10、如图，在rt△abc中，斜边ab的长为35，正方形cdef内接。

于△abc，且其边长为12，则△abc的周长为。

三、解答题（每题20分，共80分）

11、已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值。

12、如图，点h为△abc的垂心，以ab为直径的⊙o1和△bch的外接圆⊙o2相交于点d，延长ad交ch于点p，求证：点p为ch的中点。

13、如图，点a为y轴正半轴上一点，a，b两点关于x轴对称，过点a任作直线交抛物线于p，q两点。

1）求证：∠abp=∠abq

2）若点a的坐标为（0，1），且∠pbq=60o，试求所有满足条件的直线pq的函数解析式。

14、如图，△abc中，∠bac=60o，ab=2ac，点p在△abc内，且pa= ，pb=5，pc=2，求△abc的面积。