2023年全国初中数学联赛试题。
第一试。一。选择题。
本题共有6小题，每一个小题都给出了以(a), b), c), d)为代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的。请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。
1.下述四个命题。
(1)一个数的倒数等于自身，那么这个数是1;
2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
3)的平方根是；
4)大于直角的角一定是钝角。
a)1个b)2个c)3个d)4个。
答( )2.已知，那么满足上述不等式的整数x的个数是。
答( )a)4b)5c)6d)7.
答( )3.若实数满足，代数式的最大值是。
a)27b)18c)15d)12.
答( )4.给定平面上个点，已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离，那么点数的最小可能值是。
a)4b)5c)6d)7. 答( )
5.在梯形中， ,e,m,f,n分别为ab,bc,cd,da的中点，已知bc=7,mn=3,则ef之值为。
a)4bc)5d)6. 答( )
6.如图，已知， ,均垂直于， ,则ap+pb等于。
a）12； （b）13； （c）14； （d）15. 答( )
二、填空题。
1.从等边三角形内一点向三边作垂线，已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是。
2.当取遍0到5的所有实数值时，满足的整数的个数是
3.若，满足，则的取值范围是 .
4.若正整数x, y满足，则等于。
第二试。一。设p为等腰直角三角形acb斜边ab上任意一点， pe垂直ac于点f, pf垂直bc于点f, pg垂直ef于点g, 延长gp并在其延长线上取一点d, 使得pd=pc,试证：
,且bc=bd.
二。已知为整数，且，方程。
的两个根满足关系式。
试求所有的整数点对().
三。已知定理：“若三个大于3的质数，满足关系式，则是整数n的倍数”.试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论。
2023年全国初中数学联赛参***及详解。
第一试。一、选择题。
1．（a）1）1和-1的倒数都等于自己本身，所以此命题错误；
2）此命题正确，根据正方形的判定方式，确定对角线互相垂直且四边相等的四边形为正方形；
3）任何数都有平方根，0也有平方根．但负数没有平方根，所以该命题错误；
4）大于直角的角可以是钝角，平角，周角，该命题错误．
故选a2．（c），
3．（a）∵
4．（d）因为上述任意三个边长都不能构成同一个三角形的三条边长，所以至少要有7个点。
5．（a）延长ba，cd交于点h， ，在中，m,n,h三点共线，∴，故，.
6．（b）如图，延长bp交aa1于，过p作交aa1于，过作交bb1于d.
由勾股定理 .
即 .二、填空题。
1．.由 ，
2．13. ∵又 ，，b≤，b可取到的整数值为-1，0，1，…，11共有13个。
3．≤s≤×3+②×5,得 ，×2-②×3,得 .
由 21+5s≥0得 s≥,14-3s≥0得 s≤.
故 ≤s反之，若s满足③，易知有满足①，②的a,b存在，所以≤s≤.
4．63.不妨设x为奇数，y为偶数，因为的个位数字是7，因此，的个位数字必是1,6;x,y的个位数字必是1,4或1,6或9,4或9,6.又，则x,y除以4的余数必为1,0.
由知，因此x可能值为1,9;21,29;41.经检验，仅当时，有，使，29+34=63.
第二试。一、
证：∵∠epg＝∠efp＝∠cpf，∠dpb＝∠apg＝45°＋∠epg＝∠bpf＋∠cpf＝∠bpc．
又∵pd＝pc，pb公用，△pdb≌△pcb．
bc＝bd．
又∵∠pbd＝∠cbp＝45°，∠cbd＝90°，bc⊥bd．
二、解：据题意，可得。
由关系式α（α1）＋β1）＝（1）（β1）得（α＋2－3αβ＝1 ②
把①代入②，得（a＋b）2－4ab＝1 ③
即（a－b）2＝1
又∵a＞b，∴a－b＝1 ④
又由判别式△≥0得。
3（a＋b）2≥16ab ⑤
将①代入⑤得。
a＋b）2≤4 ⑥
由④、⑥可知，满足条件的整数点对（a，b）只能是（1，0），（0，－1）
三、解：n的最大可能值是9
先证：3整除a＋b＋c
a＋b＋c＝a＋b＋2a＋5b＝3（a＋2b）
3｜a＋b＋c
设a、b被3除余数分别为ra、rb，则因a、b是大于3的质数，故ra≠0，rb≠0
若ra≠rb，则ra＝1、rb＝2或ra＝2，rb＝1，这时，2a＋5b必是3的倍数，即c是合数了，矛盾。
故ra＝rb即ra＝rb＝1或ra＝rb＝2，此时，a＋2b是3的倍数，从而9｜a＋b＋c
再证9是最大的。
2×11＋5×5＝47中，11＋5＋47＝63，又2×13＋5×7＝61中，13＋7＋61＝81，而（63，81）＝9，故9是最大可能的值．
2023年全国初中数学竞赛试题
则方程的两个整数根为 1 1，由根与系数关系得 a，1 1 a 两式相加得 2 2 1 0即 2 2 3 或解得 或。又 a b c 1 1 a 0，b 1，c 2或a 8，b 15，c 6 故 3或 29 12 如图，点h为 abc的垂心，以ab为直径的 和 bch的外接圆 相交于点d，延长ad交...
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一 选择题 共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填 多填或错填都得0分 1 设，则代数式的值为。a 6b 24c d 2 在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是。abcd 3 在等边三...
2023年全国初中数学竞赛试题
数学周报 杯 2011年全国初中数学竞赛试题。一 选择题 每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项 1 设 则代数式的值为 a 24 b 25 c d 2 对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对 a，b 与 c，d 之间的运算 为 a，b c，d ac bd，ad bc 如果对于任意实数u，...