一、 选择题：共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分。
1. 对正整数，记！=1×2× …则1！+2！+3！+…10！的末位数是（ ）
a. 0 b. 1 c. 3 d. 5
2. 已知关于的不等式组恰有5个整数解，则的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
3. 已知关于的方程恰有一个实根，则实数的值有（ ）
a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个。
4. 如图，已知△abc的面积为24，点d**段ac上，点f**段bc的延长线上，且bc=4cf，dcfe是平行四边形，则图中阴影部分的面积为。
a. 3 b. 4 c. 6 d. 8
5. 在分别标有号码2，3，4，……10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是。
ab. c. d.
二、填空题：共5小题，每小题7分，共35分。请将答案填在对应题号的横线位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
6. 设，是的小数部分，则的值为。
7. 一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6.掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是。
8. 已知正整数、、满足，，则的最大值为。
9. 实数、、、满足：一元二次方程的两根为、，一元二次方程的两根为、，则所有满足条件的数组（、、为。
10. 小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元。
则他至少卖出了支圆珠笔。
三、解答题：共4题，每小题20分，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11. 如图，抛物线，顶点为e，该抛物线与轴交于a、b两点，与轴交于点c，且ob=oc=3oa，直线与y轴交于点d.求。
12. 如图，已知ab为圆o的直径，c为圆周上一点，d为线段ob内一点（不是端点），满足cd⊥ab，de⊥co，垂足为e.若ce=10，且ad与db的长均为正整数，求线段ad的长。
13. 设、b、c是素数，记， ，当，时，、b、c能否构成三角形的三边长？证明你的结论。
14. 如果将正整数m放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称m为的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）.求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，，…满足对任意一个正整数，在，，…中都至少有一个为的魔术数。
解答：1. 1！+2！+3！+4！的末位是！的末位都是0.
答案是c2. 解不等式组得，因为不等式组恰有5个整数解，所以，答案 c
3. 原方程两边同乘以，整理，得，当或时， =4，答案 a
4. △ade的面积与△bde的面积之和等于△abc的面积的四分之一。
答案c5. 满足要求的数组有（小号在前）：（2，4）；（2，6）；（2，8）；（2，10）；（3，6）；（3，9）；（4，8）；（5，10）.
共8种。从9个球中随机抽取2个球，共有36种取法，所以较大标号被较小标号整除的概率是：.
答案 b6. 因为，所以，又知，所以，因此答案：9
7. 掷法共6×6×6=216种，满足条件的有57种，所求概率为，答案：
8. 由，，得到 ，即，所以，因此正整数的值只可能是1，2，3.
当=1时， =59， =2时， =40，都没有符合条件的正整数；
当=3时， =9， =5或者=11，这时=13或者=61.显然
答案：2013
9. 由已知条件可知所以-并用：，，或者。
当时，，；当时，，，于是。
答案：（1，-2，1，-2），（0，，0），其中。
10. 设小明卖出了支铅笔，支圆珠笔，则。
由得，所以，
答案：205
11. 因为抛物线与轴的交点c的坐标是（0，-3），且ob=oc=3oa，所以点b的坐标是（3，0），点a的坐标是（-1，0）.因此抛物线的解析式为，顶点e的坐标为（1，-4）.
直线与轴的交点d的坐标为（0，1），与轴的交点为b（3，0），过点e作es⊥ab交ab于点s，则有es=4，bs=2，过点c作cr⊥bd于r，则直线cr的方程为，所以点r的坐标为（，）cr=，br=，所以，因此△crb∽△esb，∠dbc=∠sbe，因此∠dbc-∠cbe=∠obc=
答案： 12. 如图，连ac，bc，由射影定理，得，，所以，因为ad、bd的长均为正整数，所以bd的可能值为6，10，30.
对应的ad的值分别为30，10，6.
由题意知bd13. 答案：、、不能构成三角形的三边。
因为，，所以；又，所以，此方程的判别式△>0，，因为为整数，为素数，所以为大于4的正奇数，设=，（为大于1的整数），平方得到：，整理得：，因此，.
当时可求得或者。
当，时，，，这时可求得（不是素数，舍去）；
当，时，，，这时可求得，；
这时。因此、、不能构成三角形的三边。
14. 答案：因为正整数除以7所得到的余数可能是：
0，1，2，3，4，5，6，共七种情况，所以当=7时，可以找到一组数据，，，使得它们除以7所得到的余数分别是0，1，2，3，4，5，6，这时数组中的某一个数（0，1，2，3，4，5，6）放在正整数的左侧，得到的数是，（等于的整数位数），设除以7所得到的余数为（=0， 1，2，3，4，5，6），除以7的余数只可能是1，2，3，4，5，6.
因为当=0时，能被7整除；
当≠0时， 与（+）这里+等于1，2，3，4，5，6）对模7不同余（事实上，如果与（+）对模7同余，那么-（+能被7整除，矛盾），这里也就是说1，2，3，4，5，6中和任何一个数与1，2，3，4，5，6相乘所得到的数除以7时所得的余数均不相同，显然这个积不能被7整除，因此当我们取所有不同的值时，可以使得（+）除以7所得到的余数为1，2，3，4，5，6共六种，其中自然有一个是（7-）；所以无论取何值，总可以找到一个，使得除以7所得到的余数是7-，于是能被7整除。
因此，正整数的最小值是7.
2023年全国初中数学竞赛试题
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一 选择题 共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填 多填或错填都得0分 1 设，则代数式的值为。a 6b 24c d 2 在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是。abcd 3 在等边三...
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