2023年全国初中数学竞赛试题（正题）参***
一、选择题。
1（甲）．c
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知。
且，所以 ．
1（乙）．b
解：．2（甲）．d
解：由题设知，，，所以。
解方程组得
所以另一个交点的坐标为（3，2）.
注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
2（乙）．b
解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.
因为均为整数，所以有。
解得。以上共计9对。
3（甲）．d
解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为。
中位数为 ，于是 .
3（乙）．b
解：如图，以cd为边作等边△cde，连接ae.
第3（乙）题）
由于ac = bc，cd = ce，bcd=∠bca+∠acd=∠dce+∠acd =∠ace，所以△bcd≌△ace， bd = ae.
又因为，所以。
在rt△中，于是de=，所以cd = de = 4.
4（甲）．d
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数。 由题设可得。
消去x得 (2y－7)n = y+4，2n =.
因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
4（乙）．c
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即。 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有。
于是共有7组符合题意．
5（甲）．d
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．
5（乙）．c
解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．
设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则。
解得 ，．二、填空题。
6（甲）．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为。
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487，81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是。
7＜x≤19．
6（乙）．7
解：由已知可得。
7（甲）．8
解：连接df，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△所以。
由此得，所以。
第7（甲）题）
在rt△abf中，因为，所以。
于是 .由题设可知△ade≌△baf，所以，.
于是 ，.又，所以。
因为，所以。
7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以。
第7（乙）题）
所以 .8（甲）．
解：根据题意，关于x的方程有。
k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．
又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.
故==．8（乙）．1610
解：因为==.
当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；
当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；
当被5除余数是0时，不能被5整除。
所以符合题设要求的所有的个数为．
9（甲）．8
解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知。
由此得0≤b≤43.
又，所以。 于是。
0≤≤43，87≤≤130，由此得，或。
当时，；当时，，，不合题设。
故．9（乙）．≤1
解：由题设得。
所以 ，即 .
整理得，由二次函数的图象及其性质，得。
又因为≤1，所以≤1.
10（甲）．
解：如图，连接ac，bd，od.
第10（甲）题）
由ab是⊙o的直径知∠bca =∠bda = 90°.
依题设∠bfc = 90°，四边形abcd是⊙o
的内接四边形，所以。
bcf =∠bad,所以rt△bcf∽rt△bad，因此。
因为od是⊙o的半径，ad = cd，所以od垂直平分ac，od∥bc，于是。 因此。
由△∽△知．因为，所以，ba=ad，故。
10（乙）. 12
解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．
ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．
ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．
ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．
因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．
三、解答题。
11（甲）．解：因为当时，恒有，所以。
即，所以．
………5分）
当时，≤；当时，≤，即，且 ≤，解得≤．
………10分）
设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得。
因为，所以。
解得，或．因此．
………20分）
11（乙）．解：因为sin∠abc=，，所以。
ab = 10．
由勾股定理，得 bo=.
第11（乙）题）
易知△abo≌△aco，因此co = bo = 6.
于是a（0，－8），b（6，0），c（－6，0）.
设点d的坐标为（m，n），由s△coe = s△ade，得s△cdb = s△aob. 所以 ，解得n=－4.
因此d为ab的中点，点 d的坐标为（3，－4）.
………10分）
因此cd，ao分别为ab，bc的两条中线，点e为△abc的重心，所以点e的坐标为。
设经过b，c，e三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点e的坐标代入，解得a =.
故经过b，c，e三点的抛物线对应的二次函数的解析式为。
………20分）
12（甲）． 证明：连接bd，因为为的直径，所以．又因为，所以△cbe是等腰三角形．
第12（甲）题）
………5分）
设与交于点，连接om，则．又因为，所以。
………15分）
又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以。
boc∽△．
………20分）
12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知。
第12（乙）题）
所以 ci = cd．
同理， ci = cb.
故点c是△ibd的外心。
连接oa，oc，因为i是ac的中点，且oa = oc，所以oi⊥ac，即oi⊥ci.
故oi是△ibd外接圆的切线。
………10分）
2）如图，过点i作ie⊥ad于点e，设oc与bd交于点f.
由，知oc⊥bd.
因为∠cbf =∠iae，bc = ci = ai，所以。
rt△bcf≌rt△aie，所以bf = ae.
又因为i是△abd的内心，所以。
ab+ad－bd = 2ae = bd.
故ab+ad = 2bd．
………20分）
13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.
因为 (a+b)2－4ab = a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，2a－m+2n)(2a－m－2n) =m2.
………5分）
因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以。
2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.
解得 a，.
于是 = a－m.
………10分）
又a≥2012，即≥2012.
又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.
当时，，，因此，a的最小值为2025.
………20分）
13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．
1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；
………5分）
2）若，且≥13，由，可得，即≤11．
当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．
2023年全国初中数学竞赛试题
则方程的两个整数根为 1 1，由根与系数关系得 a，1 1 a 两式相加得 2 2 1 0即 2 2 3 或解得 或。又 a b c 1 1 a 0，b 1，c 2或a 8，b 15，c 6 故 3或 29 12 如图，点h为 abc的垂心，以ab为直径的 和 bch的外接圆 相交于点d，延长ad交...
2023年全国初中数学竞赛试题
一 选择题 共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填 多填或错填都得0分 1 设，则代数式的值为。a 6b 24c d 2 在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是。abcd 3 在等边三...
2023年全国初中数学竞赛试题
数学周报 杯 2011年全国初中数学竞赛试题。一 选择题 每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项 1 设 则代数式的值为 a 24 b 25 c d 2 对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对 a，b 与 c，d 之间的运算 为 a，b c，d ac bd，ad bc 如果对于任意实数u，...