2023年株洲市初中数学竞赛(答案)
初三年级)一、选择题(每题4分,共32分,每题仅有一个正确选项,请将正确选项填入**内 )
二、填空题(每题 5分,共30分,请将答案填在**内)
三、解答题(本大题共4个小题,共38分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本题满分8分)15.(本题满分8分)a、b、c三个物体的重量如下图所示:
回答下列问题:
1)(本题满分10分)a、b、c三个物体就单个而言哪个最重?
2)若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c?
解:(1)a、b、c三个物体就单个而言物体a最重3分。
2)由于2 a=3b 2b=3c 所以 4a=9c
故要使天平平衡,天平两边至少分别放4个物体a和9各物体c8分。
16.(本题满分10分)证明:当时,关于x的方程有且只有两个不相等的实数根。
证明:(1当时,方程有两个不相等的实数根:,符合题意;――分。
2)当时,原方程化为:
即4分。当时,对,总成立,已经有两个不相等的实数根6分。
而对于,当时。
所以在没有实数根8分。
因此时,方程有且只有两个不相等的实数根10分。
17.(本题满分10分)如图,e是长方形的边bc上一点,沿ae折叠,顶点b刚好与cd上点f重合,若求ae。
解:由题,
3分。易得:∽
6分。10分。
18.(本题满分10分)在m(m≥2)个不同数的排列中,若1≤i<j≤m时,(即前面某数大于后面某数),则称与构成一个逆序。 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数。 记排列的逆序数为,如排列21的逆序数,排列4321的逆序数。
1)求,并写出的表达式(用n表示,不要求证明);
2)令,求并证明,n=1,2,….
解:(1)由已知得,4分。
2)因为=所以。
10分。
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