一、选择题。
1、设奇函数的定义域为，值域为，则函数的值域是（ ）a.（-2,2） b.（-4,4） c.（-3,5） d.（-5,5）
解：由已知，的定义域必关于原点对称，即（舍去），这时，的定义域为（-2,2），值域为（-4,4）. 从而函数的定义域可由。
得，其值域由，可得，所以， 故选c.
2、已知，则不等式的解集为（ ）
a. b. c. d.
解：令，则，即，于是。
从而。 因此，由，可得，解得。 故选a.
3、已知，都为正数或都为负数，则的最小值为（ ）
解：由，可令，则。
其中当且仅当，即时等号成立，故。 故选a.
4、设函数，，且，，则等于不能确定。
解：由。 选a.
5、设函数的定义域为，并且满足，则函数的值是（ ）
a.31.5 b.30.5 c.-30.5 d.-31.5
解：将分别取得：
解得 ，故选d.
6、已知，且，则有（ ）
a. b. c. d.
解：，有， 从而。故选d .
二、填空题。
1、在圆内接四边形中，，ab、bc、cd、da依次成等差数列，且公差，则ab的长为___
解：设，则，，.由余弦定理，有，解得。
2、方程组的正整数解为。
解：由，代入，得。 因，所以。
或，或，故为所求。
3、已知等差数列的公差，等比数列的公比是小于1的正有理数。若且是正整数，则。
解：因为，所以由已知设为（为正整数）。
令，则。由于是小于1的正有理数，所以，且是一个有理数的平方。故当且仅当时，
4、已知，，则与的夹角为。
解：依题意，可得，即，两式相减得：
即，所以，代入上述方程组中的第2个方程，得，于是。
因此，与的夹角为。故选b.
5、设集合，是的子集且满足条件：当时，，则中元素的个数最多是___
解：由题设可知与这两个数中至少有一个不属于，所以至少有134-8=126个数不属于。 故中元素个数最多为2011-126=1885.
事实上，取，则满足题设条件，且中元素个数为2011-（134-8）=1885. 故中满足条件的元素最多为1885个。
6、定义，设函数，则函数的最小值 。
解法一：由，得。
因为，所以，当时，，所以当时；
当时，，所以当时。
故当时，取到最小值。
解法二：由，经计算，得。
据此猜想时，取到最小值。
以下用数学归纳法证明时成立。（i）当时，，不等式成立。
ii）假设时不等式成立，即，那么··2，因为，所以。
所以即当时，不等式也成立。
根据（i）和（ii）所述，对于所有都成立。
综合上表可知猜想正确，即当时，取到最小值。
解法三：因为，设。
由，当时，，所以，函数在内单调递减；
当时，，所以，函数在内单调递增。
所以的最小值只可能在或处取到，注意到，所以，当时，取到最小值。
三、解答题。
1、已知数列满足：试求的值，使得的值最小。
解：令，，则由题设有，且。于是。
即 .所以。
又所以，当的值最小时应有，且。即。 于是，由（*）式，得，由于，且是正整数，解得。 因此，当时，的值最小。
2、设内接于单位圆，且圆心在的内部。 若点在边bc、ca、ab上的射影分别为点d、e、f，求od+oe+of的最大值。
解：如图，因为od⊥bc，oe⊥ac，所以d、e分别是bc、ac的。
中点，，且o、d、c、e四点共圆，由托勒密定理有：
即 同理有，.
注意到(的外接圆半径)，以上三式相加，得
设三角形内切圆半径为，则。
+②：从而。
等号在为正三角形时成立，故。
od+oe+of的最大值为。
3、设正实数满足，求函数的值域。（其中（表示不超过的最大整数）
解：不妨设，则，.有下面两种情形：
1）当时，，此时。
2）当时，设，，则。
于是，，故，由函数在时是递增的和得。故。设，
则：，即，于是时，的值域为，即。
综上所述，的值域为。
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