梅溪中学九年级数学竞赛试卷二。
班级姓名。一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）
1. 下列各对数的大小比较，正确的是( )
a． b． c． d．
2. 已知那么代数式的值为（ ）
abcd.
3．甲、乙两同学骑自行车从a地沿同一条路到b地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，给出下列说法：
1)他们都骑行了20km;
2)乙在途中停留了0.5h;
3)甲、乙两人同时到达目的地；
4)相遇后，甲的速度小于乙的速度。
根据图象信息，以上说法正确的有( )
a.4个b.3个。
c.2个d.1个。
4．在△abc中，已知bd和ce分别是两边上的中线，并且bd⊥ce，bd＝4，ce＝6．那么△abc的面积。
等于（ ）a．12 b．14
c．16 d．18
5．已知二次函数（其中是正整数）的图像经过点a（-1，4）与点b（2，1），并且与轴有两个不同的交点，则的最大值为。
6．下图中阴影部分的面积与算式│-│2+2-1的结果相同的是（ ）
7．观察数列：1，2，5，12，29，70，169，□，的规律性，则根据上述规律，□所表示的数应是（ ）
a．239 b．250 c．389 d．408
8．如图，将矩形abcd纸片对折并重新放平，得折痕mn，再将纸片沿ae折叠，使点b落在折痕mn上。
若ab=，则折痕ae的长为( )
a．2 b．
c． d．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．关于的方程有唯一的实数解，则___
11．已知x、y为正整数(x ≥y )，且满足xy – x + y ) 2p + q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数。试写出满足上述条件的数对(x ，y ) 写出一对即可） ．
12. rt△abc中，∠bac=90°，ab=3，ac=4，p为边bc上一动点，pe⊥ab于e，pf⊥ac
于f，m为ef中点，则am的最小值为。
13．试写出关于点p（1，1）成中心对称的两条抛物线的解析式。
14. 观察下列数表：
第一列第二列第三列第四列。
第一行 0 2 4 6 …
第二行 2 4 6 8 …
第三行 4 6 8 10 …
第四行 6 8 10 12 …
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为___第n行与第n列交叉点上的数应为___用含有正整数n的式子表示)
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．解不等式。
16．某乡两村盛产柑桔，村有柑桔200吨，村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑桔重量为吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元．
1）请填写下表，并求出与之间的函数关系式；
2）试讨论两村中，哪个村的运费较少；
3）考虑到村的经济承受能力，村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．
17．如图，已经矩形abcd中，延长bc到e，使ce＝ca，f是ae的中点，求证：bf⊥fd．
18． 已知：如图①，在rt△acb中，∠c＝90°，ac＝4cm，bc＝3cm，点p由b出发沿ba方向向点a匀速运动，速度为1cm/s；点q由a出发沿ac方向向点c匀速运动，速度为2cm/s；连接pq．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
1）当t为何值时，pq∥bc？
2）设△aqp的面积为y（），求y与t之间的函数关系式；
3）是否存在某一时刻t，使线段pq恰好把rt△acb的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
4）如图②，连接pc，并把△pqc沿qc翻折，得到四边形pqp′c，那么是否存在某一时刻t，使四边形pqp′c为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
2023年初三数学数学竞赛试题参***及评分建议。
一、 选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
910． 11．x = 9， y = 3 或x = 5， y = 5.
1213．略 14.20，4(ｎ－1)
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．(12分)
解： （1）当＜－2时，得－3－4＞0， ∴
（2）当－2≤≤1时，得－＞0，＜0
3）当＞1时，得－2＞0，＞2
综上所述，可得原不等式的解是＜0或＞2
16．(12分)解：
2）当时，；
当时，；当时，．
当时，即两村运费相等；当时，即村运费较少；当时，即村费用较少．
3）由得。设两村运费之和为，．
即：．又时，随增大而减小，当时，有最小值，（元）．
答：当村调往仓库的柑桔重量为50吨，调往仓库为150吨，村调往仓库为190吨，调往仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．
17．（12分）
证明：延长df交be于m，连结bd
ad∥me， ∴daf＝∠mef
又 af＝fe， 且∠afd＝∠efm
△afd≌△efm ∴ df＝fm
bd＝ac＝ce＝cm＋me＝cm＋ad＝cm＋bc＝bm
即 bd＝bm，且 df＝fm ∴ bf⊥fd
18． 解：（1）由题意：bp＝tcm，aq＝2tcm，则cq＝(4－2t)cm，∠c＝90°，ac＝4cm，bc＝3cm，∴ab＝5cm
ap＝（5－t）cm，pq∥bc，∴△apq∽△abc，ap∶ab＝aq∶ac，即（5－t）∶5＝2t∶4，解得：t＝
当t为秒时，pq∥bc
………2分。
2）过点q作qd⊥ab于点d，则易证△aqd∽△abc
aq∶qd＝ab∶bc
2t∶dq＝5∶3，∴dq＝
△apq的面积：×ap×qd＝（5－t）×
y与t之间的函数关系式为：y＝
………5分。
3）由题意：
当面积被平分时有：＝×3×4，解得：t＝
当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1
不存在这样t的值。
………8分。
4）过点p作pe⊥bc于e
易证：△pbe∽△abc，当pe＝qc时，△pqc为等腰三角形，此时△qcp′为菱形。
△pae∽△abc，∴pe∶pb＝ac∶ab，∴pe∶t＝4∶5，解得：pe＝
qc＝4－2t，∴2×＝4－2t,解得：t＝
当t＝时，四边形pqp′c为菱形。
此时，pe＝，be＝，∴ce＝
………10分。
在rt△cpe中，根据勾股定理可知：pc＝＝＝
此菱形的边长为cm12分。
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