全国初中数学竞赛考练题（一）参***。
一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）
1. 【答】（b）
解由得，所以，注：本题也可用特殊值法来判断。
2．【答】（a）
解：因为，≥0，由已知条件得，所以。
3．【答】（c）
解因为，即当分别取值， 为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值时，计算所得各代数式的值之和为0.
4．【答】（c）
解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数。 由题意知。
＞0，即＞4.
通过枚举知，满足条件的有17对。 故。
5. 【答】d.
解由题意可得即所以，，因此，所以△是直角三角形。
6．【答】（b）
解：如图，大圆周上有4个不同的点a，b，c，d，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点e，f中，至少有一个不是四边形abcd的对角线ac与bd的交点，则它与a，b，c，d的连线中，至少有两条不同于a，b，c，d的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．
所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．
7. 【答】（c）
解锐角△的垂心在三角形内部，如图，设△的。
外心为，为的中点，的延长线交⊙于点，连、，则//，则，所以∠＝30°、∠60°，所以∠＝∠60°.
8．【答】（b）
解：如图，连接oe，oa，ob．
设，则 又因为。
所以≌，于是．
9．【答】（a）
解分别延长、、，与△的三边、、交于点、、，由于、、分别为△、△的重心，易知、、分别为、、的中点，所以。
易证△∽△且相似比为，所以。
所以。10．【答】（d）
解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．
又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
11．【答】，或．
解：由，得。
依题意有。解得，，或．
12．【答】4．
解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则。
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则。
由①，②可得，所以．
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．
13．【答】9．
解：如图，设点n是ac的中点，连接mn，则mn∥ab．
又，所以，所以．
因此9．14．【答】．
解：如图，设△abc的三边长为a，b，c，内切圆i的半径为r，bc边上的高为，则。
所以 ．因为△ade∽△abc，所以它们对应线段成比例，因此。
所以 故 ．
15．关于x，y的方程的所有正整数解为。
答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．
设，则。同上可知，a，b都是偶数．设，则。
所以，c，d都是偶数．设，则。
于是。其中s，t都是偶数．所以。
所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是＝289，从而＝7．于是
因此 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
16． 解：（1）令，得；令，得．
所以a，b两点的坐标分别为，于是，△oab的面积为。
由题意，有。
解得。2）由（1）知，当且仅当时，有，即当，时，不等式中的等号成立．
所以，△abc面积的最小值为。
17． 解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令。
其中n是一个非负整数．则。
由于1≤≤q+n，且与同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：
消去n，解得。
对于第1，3种情形，，从而q＝5；对于第2，5种情形，，从而q＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
又当，q＝5时，方程为，它的根为，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数。
18．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△abc？证明你的结论．
解：存在满足条件的三角形．
当△abc的三边长分别为，，时，．
5分。如图，当时，延长ba至点d，使．连接cd，则△为等腰三角形．
因为为△的一个外角，所以．由已知，，所以。
所以△为等腰三角形．
又为△与△的一个公共角，有△∽△于是。
即 ， 所以。
而，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．
说明：满足条件的三角形是唯一的．
若，可得．有如下三种情形：
）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，，；
ⅱ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，解得，有，，，此时不能构成三角形；
ⅲ）当时，设，，（为大于1的正整数），代入，得，即，此方程无整数解．
所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．
19．解：当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．
当n＝5时，设是1，2，…，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是中必定有一个数是5．
若中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10），故含6；于是不含3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．
若中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20），故含4；于是不含7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．
综上所述，n的最小值为5．
2023年全国初中数学竞赛考练题（二）参***。
一、选择题（共10小题，每小题6分，共60分。）
1．答：c．
解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处。
2．【答】c．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1．
3．【答】c.
解：由已知可得，．又。
所以。解得．
4．【答】a．
解：因为△boc ∽ abc，所以，即。
所以。由，解得．
5．【答】b．
解：设点a的坐标为，点c的坐标为（），则点b的坐标为，由勾股定理得。
所以。由于，所以，故斜边ab上高．
6．【答】d．
解：当时，方程组无解．
当时，方程组的解为。
由已知，得即或。
由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得。
共有 5×2＝10种情况；或共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为．
7．【答】b．
解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过次后，可得（＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（＋1）×360°．
因为这（＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为。
34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（＋1）－34＝－33（个），而这些多边形的内角和不少于（－33）×180°．所以。
＋1）×360°≥34×60×180°＋（33）×180°，解得≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了。
2023年全国初中数学竞赛
中国教育学会中学数学教学专业委员会。数学周报 杯 2010年全国初中数学竞赛试题。一 选择题 共5小题，每小题7分，共35分。1 若，则的值为 ab c d 解 由题设得。2 若实数a，b满足，则a的取值范围是 c a a b a 4 c a 或 a 4 d a 4 解 因为b是实数，所以关于b的一...
2023年全国初中数学竞赛
嘉兴市三等奖。说明 由嘉兴市数学会颁发证书。学校。全国初中数学竞赛嘉兴市三等奖 1 海盐县实验中学海盐县实验中学海盐县武原中学海盐县武原中学海盐县武原中学海盐县元通中学马桥初中。上外附属浙江宏达学校实验初中洪波中学洪波中学嘉兴三中嘉兴三中。嘉兴秀州中学分校。富旭东陆菊芳周利君朱汉华王建芬肖燕孙芬华马...
2023年全国初中数学竞赛
2006年全国初中数学竞赛 浙江赛区 初赛试题参 一 选择题 共8小题，每小题5分，满分40分 1 答案 d 解 解方程组，得要使方程组的解是一对异号的数，只需或即a 或a 3 2 答案 b 解 连结be，分别过e，f作ac的平行线交bc于点m和n，则em 1，bm mn 小三角形的周长是cm 3 ...