中国教育学会中学数学教学专业委员会。
《数学周报》杯”2023年全国初中数学竞赛试题。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。）
1．若，则的值为（ ）
ab） （c） （d）
解：由题设得。
2．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ c ）．
a）a≤ （b）a≥4 （c）a≤或 a≥4 （d）≤a≤4
解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程。
的判别式0,解得a≤或 a≥4．
3．如图，在四边形abcd中，∠b＝135°，∠c＝120°，ab=，bc=，cd＝，则ad边的长为（ ）
ab）cd）
解：如图，过点a，d分别作ae，df垂直于直线bc，垂足分别为e，f．
由已知可得。
be=ae=，cf＝，df＝2，于是 ef＝4＋．
过点a作ag⊥df，垂足为g．在rt△adg中，根据勾股定理得。
ad＝．4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ b ）．
a) 1b) 2c) 3d) 4
解：由和可得，…
因为2010=4×502+2，所以=2．
5．如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形abcd的顶点坐标分别为a（1，1），b（2，－1），c（－2，－1），d（－1，1）．y轴上一点p（0，2）绕点a旋转180°得点p1，点p1绕点b旋转180°得点p2，点p2绕点c旋转180°得点p3，点p3绕点d旋转180°得点p4，……重复操作依次得到点p1，p2，…，则点p2010的坐标是。
a）（2010，2） （b）（2010，） c）（2012，） d）（0，2）
解：由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．
记，其中．根据对称关系，依次可以求得：，．
令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 0 ．
解：由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是。
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12
3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t
解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得。
由①②，得，所以，x=30．
故（分）．8．如图，在平面直角坐标系xoy中，多边形oabcde的顶点坐标分别是 o（0，0），a（0，6），b（4，6），c（4，4），d（6，4），e（6，0）．若直线l经过点m（2，3），且将多边形oabcde分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是。
解：如图，延长bc交x轴于点f；连接ob，afce，df，且相交于点n．
由已知得点m（2，3）是ob，af的中点，即点m为矩形abfo的中心，所以直线把矩形abfo分成面积相等的两部分．又因为点n（5，2）是矩形cdef的中心，所以，过点n（5，2）的直线把矩形cdef分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则。
解得。故所求直线的函数表达式为．
9．如图，射线am，bn都垂直于线段ab，点e为am上一点，过点a作be的垂线ac分别交be，bn于点f，c，过点c作am的垂线cd，垂足为d．若cd＝cf，则。
解：见题图，设．
因为rt△afb∽rt△abc，所以 ．
又因为 fc＝dc＝ab，所以。
即 ，解得，或（舍去）．
又rt△∽rt△，所以， 即=．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为。
解：因为为的倍数，所以的最小值满足。
其中表示的最小公倍数．
由于。因此满足的正整数的最小值为．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11（a）．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点a，b. 已知点a的坐标为（1，4），点b在第三象限内，且△aob的面积为3（o为坐标原点）.
1）求实数a，b，k的值；
2）过抛物线上点a作直线ac∥x轴，交抛物线于另一点c，求所有满足△eoc∽△aob的点e的坐标。
解：（1）因为点a（1，4）在双曲线上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为。
设点b（t，），ab所在直线的函数表达式为，则有。
解得，.于是，直线ab与y轴的交点坐标为，故，整理得。
解得，或t＝（舍去）．所以点b的坐标为（，）
因为点a，b都在抛物线（a0）上，所以解得10分）
2）如图，因为ac∥x轴，所以c（，4），于是co＝4.
又bo=2，所以。
设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点d， 则点d的坐标为（，0）.
因为∠cod＝∠bod＝，所以∠cob=.
i）将△绕点o顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是co的中点，点的坐标为（4，）.
延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点。
ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点e２（2，）是符合条件的点．
所以，点的坐标是（8，），或（220分）
12．如图，△abc为等腰三角形，ap是底边bc上的高，点d是线段pc上的一点，be和cf分别是△abd和△acd的外接圆直径，连接ef. 求证：
证明：如图，连接ed，fd. 因为be和cf都是直径，所以 ed⊥bc， fd⊥bc，因此d，e，f三点共线。 …5分）
连接ae，af，则。
所以，△abc∽△aef10分）
作ah⊥ef，垂足为h，则ah=pd. 由△abc∽△aef可得。
从而。所以20分）
13、实数a，b使得关于x，y的方程组。
有实数解（x，y）.
1）求证：≥2；
2）求a2＋b2的最小值。
解：（1）由方程①知，，且y＝. 所以，当时，y≥2；当时，y≤，故 ≥25分）
2）将代入方程②，得，所以 .
因为方程组有实数解，所以方程在y ≤-2，或y≥2的范围内至少有一个实根。
i） 当≤4时，有， 或 ≥2，所以或 ≥，即或 ≤.
若≥0，即≥时，≥，由此得，所以a2＋b2≥＋2b＋4＝＋≥
当b＝时，上式等号成立，此时a＝±.
若时，对于满足≥，或≤的任意实数a，均有a2＋b215分）
ii）当时， a2＋b2＞.
综上可知，a2＋b2的最小值为20分）
14（a）．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
解：首先，如下61个数：11，，，即1991）满足题设条件5分）
另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为。
，所以。因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数10分）
设，i=1，2，3，…，n.
由，得。所以，，即≥1115分），故≤60. 所以，n≤61.
综上所述，n的最大值为6120分）
2023年全国初中数学竞赛
嘉兴市三等奖。说明 由嘉兴市数学会颁发证书。学校。全国初中数学竞赛嘉兴市三等奖 1 海盐县实验中学海盐县实验中学海盐县武原中学海盐县武原中学海盐县武原中学海盐县元通中学马桥初中。上外附属浙江宏达学校实验初中洪波中学洪波中学嘉兴三中嘉兴三中。嘉兴秀州中学分校。富旭东陆菊芳周利君朱汉华王建芬肖燕孙芬华马...
2023年全国初中数学竞赛
2006年全国初中数学竞赛 浙江赛区 初赛试题参 一 选择题 共8小题，每小题5分，满分40分 1 答案 d 解 解方程组，得要使方程组的解是一对异号的数，只需或即a 或a 3 2 答案 b 解 连结be，分别过e，f作ac的平行线交bc于点m和n，则em 1，bm mn 小三角形的周长是cm 3 ...
2023年全国初中数学竞赛
嘉兴市三等奖。说明 由嘉兴市数学会颁发证书。学校。上外附属浙江宏达学校实验初中洪波中学洪波中学嘉兴三中嘉兴三中。嘉兴秀州中学分校三水湾中学余新镇中学嘉善魏塘中学。陈二军吴允仁罗旭。二十一世纪外国语学校二十一世纪外国语学校吉水中学嘉兴三中嘉兴三中嘉兴三中嘉兴三中嘉兴三中嘉兴三中。嘉兴秀州中学分校嘉兴秀...