全国初中数学竞赛试题（四）参***。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。）
1．已知非零实数a，b 满足，则等于（ ）
a）－1b）0c）1 （d）2
【答】c．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1．
2．如图，菱形abcd的边长为a，点o是对角线ac上的一点，且oa＝a，ob＝oc＝od＝1，则a等于（ ）
a） （b） （c）1 （d）2
答】a．解：因为△boc ∽ abc，所以，即，所以， ．由，解得．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（ ）
（abc） （d）
【答】d．解：当时，方程组无解．
当时，方程组的解为。
由已知，得即或。
由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得共有 5×2＝10种情况；或共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为．
4．如图1所示，在直角梯形abcd中，ab∥dc，. 动点p从点b出发，沿梯形的边由b→c→d→a运动。 设点p运动的路程为x，△abp的面积为y.
把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△abc的面积为（ ）
a）10 （b）16 （c）18 （d）32
【答】b．解：根据图像可得bc＝4，cd＝5，da＝5，进而求得ab＝8，故。
s△abc＝×8×4＝16.
5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（ ）
a）2组 （b）3组 （c）4组 （d）无穷多组。
【答】c．解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为。
由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．
由解得 ≤．于是。
显然，只有时，是完全平方数，符合要求．
当时，原方程为，此时；
当y＝－4时，原方程为，此时．
所以，原方程的整数解为。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为。
又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有两式相加，得，则 ．
7．已知线段ab的中点为c，以点a为圆心，ab的长为半径作圆，**段ab的延长线上取点d，使得bd＝ac；再以点d为圆心，da的长为半径作圆，与⊙a分别相交于f，g两点，连接fg交ab于点h，则的值为 ．
解：如图，延长ad与⊙d交于点e，连接af，ef ．
由题设知，，在△fha和△efa中，
所以 rt△fha∽rt△efa，而，所以。
8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为。
答】 10．
解：因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．
又因为，所以．由，可得．
9．如图，在△abc中，cd是高，ce为的平分线．若ac＝15，bc＝20，cd＝12，则ce的长等于。
答】．解：如图，由勾股定理知ad＝9，bd＝16，所以ab＝ad＋bd＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△acb为直角三角形，且．
作ef⊥bc，垂足为f．设ef＝x，由，得cf＝x，于是bf＝20－x．
由于ef∥ac，所以 ，即 ，解得．所以．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是。
【答】．解：设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是．
于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是．所以。
解得．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线与动直线有公共点，，且。
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值。
解：（1）联立与，消去y得二次方程。
有实数根，，则．所以。
5分。把②式代入方程①得10分。
t的取值应满足≥0
且使方程③有实数根，即＝≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤.
所以，t的取值范围为15分。
2) 由②式知。
由于在≤≤时是递增的，所以，当时20分。
12．已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和．
解：由可得．，且。
5分。因为是奇数，所以等价于，又因为，所以等价于．
因此有，于是可得．……15分。
又，所以．因此，满足条件的所有可能的正整数的和为。
11＋192（1＋2＋…＋10）＝1057120分。
13．如图，给定锐角三角形abc，，ad，be是它的两条高，过点作△abc的外接圆的切线，过点d，e分别作的垂线，垂足分别为f，g．试比较线段df和eg的大小，并证明你的结论。
解法1：结论是．下面给出证明5分。
因为，所以rt△fcd ∽ rt△eab．于是可得。
同理可得10分。
又因为，所以有，于是可得。
……20分。
解法2：结论是．下面给出证明5分。
连接de，因为，所以a，b，d，e四点共圆，故。
10分。又l是⊙o的过点c的切线，所以． …15分。
所以，，于是de∥fg，故df＝eg． …20分。
14．n个正整数满足如下条件：；且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设中去掉后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数，．即．
于是，对于任意的1≤≤n，都有，从而5分。
由于是正整数，故10分。
由于 所以，≤2008，于是n ≤45
结合，所以，n ≤915分。
另一方面，令，…，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为920分。
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