中国教育学会中学数学教学专业委员会。
《数学周报》杯”2024年全国初中数学竞赛试题详细解答。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。其中有且只有一个选项是正确的。 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若，则的值为（ ）
ab） （c） （d）
答案】 解析1】由题设知，，于是．
解析2】 由题设知，于是，故选d.
2．若实数满足，则的取值范围是（ ）
a） （b） （c）或 （d）
【答案】c解析】可以看作是关于的一元二次方程，因为是实数，所以的判别式，即，，解得或．故的取值范围是或，故选c.
3．如图，在四边形abcd中，, 则边的长为（ ）
ab）cd）
答案】（）解析1】如图1，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， ,
在中， ,又∵，∴
于是．在中，
根据勾股定理得．
解析2】如图2，过点作交于，交的延长线于；过点作于； 过点作于， ,
四边形为矩形，∴,在中，,
在中，解析3】如图3，过点作交于，过点
作于； 过点作于，则四边形为矩形，为等腰直角三角形，在中，,
由得， ,又，在中，根据余弦定理得，于是，故选（）.
(说明：本题与2024年全国初中数学联合竞赛第一试填空第4题类型完全相同，只是数值不同)
4．在一列数……中，已知，（）取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于。
a) 1b) 2c) 3d) 4
答案】b解析】由和可得，，，归纳可得。
（为自然数），因2010=4×502+2，故=2．
5.如图，在平面直角坐标系xoy中，等腰梯形abcd的顶点坐标分别为a（1，1），b（2，－1），c（－2，－1），d（－1，1）．y轴上一点p（0，2）绕点a旋转180°得点p1，点p1绕点b旋转180°得点p2，点p2绕点c旋转180°得点p3，点p3绕点d旋转180°得点p4，……重复操作依次得到点p1，p2，…，则点p2010的坐标是。
a）（2010，2b）（2010
c）（2012d）（0，2）
答案】b解析1】由已知得，点，的坐标分别为，记，其中，根据对称关系，依次可以求得：，，令，同样可以求得，点的坐标为（），即，因2010=4502+2，故点的坐标为（2010，）．
解析2】由已知得，，
归纳可得 （为自然数）
因2010=4502+2，故点的坐标为（2010，）．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知，则的值等于。
答案】0解析】由已知得，，于是。
原式=.7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t
答案】15解析1】画出某一时刻三辆车的位置示意图，如图所示，设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，依题意得。
由①②，得，与③比较得，x=30，故（分）．
解析2】设在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，客车与小轿车间隔为2，则小轿车与货车的速度差为，小轿车与客车的速度差为，则货车与客车的速度差为，货车追上了客车需分钟，所以货车追上了客车，需再过分钟．
8．如图，在平面直角坐标系xoy中，多边形oabcde的顶点坐标分别是o（0，0），a（0，6），b（4，6），c（4，4），d（6，4），e（6，0）．若直线l经过点m（2，3），且将多边形oabcde分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是。
答案】解析】如图，延长交轴于点；连接；连接，且相交于点．则，由已知得点是的中点，即点为矩形的中心，所以直线把矩形分成面积相等的两部分．又因为点是矩形的中心，所以，过点的直线把矩形分成面积相等的两部分．
于是，直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为，则解得，故所求直线的函数表达式为．
9．如图，射线，都垂直于线段，点为上一点，过点作的垂线分别交于点，过点作的垂线，垂足为d．若，则。
答案】解析】如图，因，所以，即．∵，
即，解得， 或（舍去）．
又∵,∴而，故=．
10．对于=2，3，…，k，正整数除以所得的余数为．若的最小值满足，则正整数的最小值为。
答案】 解析】因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数）
由于。因此满足的正整数的最小值为．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11(a).如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点a，b. 已知点a的坐标为（1，4），点b在第三象限内，且△aob的面积为3（o为坐标原点）.
1）求实数a，b，k的值；
2）过抛物线上点a作直线ac∥x轴，交抛物线于另一点c，求所有满足△eoc∽△aob的点e的坐标。
解：（1）因为点a（1，4）在双曲线上，所以k=4.
故双曲线的函数表达式为。设点，所在直线的函数表达式为，则有。
解得，. 故，于是，直线ab与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或（舍去）．
故点的坐标为．
因为点都在抛物线上，所以解得 ……10分）
2）由（1）知，因为轴且，所以。
令，得，解得，或，故。
于是。 又，所以。
设抛物线与x轴负半轴相交于点d， 则点的坐标为（，0）.
因为，所以。
i）将绕点顺时针旋转，得到△.此时，点是的中点，点，延长到点，使得，这时点是符合条件的点。
ii）作关于轴的对称图形，得到点；延长到点，使得，这时点是符合条件的点．
故点的坐标是，或。 …20分）
11(b). 设实数a，b满足：，求的最小值。
解：由已知得，，即，所以，或。……5分）
i）当，即时，于是当时，的最小值为，此时，.…15分）
ii）当，即时，于是时，的最小值为，此时，.
综上可知，的最小值为。……20分）
12(a). 如图，为锐角三角形，点为边上的两点，和的外接圆圆心分别为和，试判断的延长线与的延长线的交点是否可能在的外接圆上，并说明理由。
解：答案是否定的，即的延长线与的延长线的交点不可能在△abc的外接圆上。 …5分）
理由如下：如图，连接，设直线与直线的交点为，则，所以 ，即， 故。……15分）
由于点为边上的两点，所以，即。
因此，点不在△的外接圆上．……20分）
12(b).如图，△abc为等腰三角形，ap是底边bc上的高，点d是线段pc上的一点，be和cf分别是△abd和△acd的外接圆直径，连接ef. 求证：．
证明：如图，连接。
因为和都是直径，所以，因此三点共线。 …5分）
连接，则，所以，∽…10分）
过点作于，则。 由∽,可得，从而，所以20分）
13(a). 实数使得关于的方程组有实数解。
（1）求证；
2）求的最小值。
解： (1)(证法1)由方程①知，且。
∴(当且仅当时取等号). 即……(5分)
或书写如下：)由方程①知，且。 所以，当时，；当时，，故。 …5分）
证法2)由方程①得，此方程可视为关于的一元二次方程，由于为实数，故即。……5分）
(2)(解法1) 由方程①得③，将③代入方程②，得，即，∵，
由于方程组有实数解，故方程④在，或的范围内至少有一个实数根。
i）当时，有，或，故，或，即或。
若，即时，或，由此得，于是。
当且仅当时，上式取等号，此时。）
若即时，对于满足，或的任意实数，均有。……15分）
ii）当时， .
综上（i）、（ii）可知，的最小值为。……20分）
解法2：）由方程①得③，将③代入方程②，得，即，∵，
于是，当时，有最小值，又∵，
从而，即（当且仅当时取等号）
故当时，，有最小值。
(解法3:) 由方程①得③,将③代入②得，即④
(i) 当，即时，方程④变为，由方程①知，∴，此时②变为，即，若，则由方程②得，因，故，由（1）知，从而， ，为不等于0的实数，∴，
（当且仅当，即时取等号）……10分）
ii)当，即时，方程④可视为关于的一元二次方程。
为不等于0的实数，∴，
（当且仅当同时成立，即，时取等号）
综上(i)、(ii)可知，的最小值为。……20分）
13(b). 求满足的所有素数和正整数。
解：由题设得，所以，由于是素数，故，或。 …5分）
（1）若，令，是正整数，则又∵是素数。
从而，于是。
故，从而。
所以解得10分）
2）若，令，是正整数。
当时，有，故，从而或。
由于是奇数，故，从而。
于是，解得，这不符合题意。
当时，，解得；当，，无正整数解；
当时，，无正整数解。
综上所述，所求素数，正整数。…（20分）
14(a)．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？
《数学周报》杯”2024年全国初中数学竞赛
天津赛区初赛。一 选择题 共5小题，每小题7分，满分35分 1 设，则代数式的值为 a 0 b 1 c 1 d 2 答 c 解 由已知得于是。2 已知为实数，且满足，则。的最小值为 a b 0 c 5 d 答 d 解 由可得。于是 因此，当时，的最小值为 3 若，且满足，则的值为 a 1 b 2 c...
2024年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷
一 选择题 共5小题，每小题7分，满分35分 1 设，则3a3 12a2 6a 12 a 24 b 25 c d 2 规定 为有序实数对的运算，如果 a，b c，d ac bd，ad bc 如果对任意实数a，b都有 a，b x，y a，b 则 x，y 为 a 0，1 b 1，0 c 1，0 d 0，...
数学周报》杯”2024年全国初中数学竞赛试题 含答案
全国初中数学竞赛试题 四 参 一 选择题 共5小题，每小题7分，共35分。1 已知非零实数a，b 满足，则等于 a 1b 0c 1 d 2 答 c 解 由题设知a 3，所以，题设的等式为，于是，从而 1 2 如图，菱形abcd的边长为a，点o是对角线ac上的一点，且oa a，ob oc od 1，则...