2024年全国初中数学竞赛考试试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则的值等于 (

abcd)

2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.

80元（信的质量在100g以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 (

a) 2.4元 (b) 2.8元 (c) 3元 (d) 3.2元。

3．如下图所示，∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g

a)360° (b) 450° (c) 540° (d) 720

4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且ab与cd是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（）

a)2个 (b)3个 (c)4个 (d) 6个。

5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )

a)1种 (b)2种 (c)4种 (d) 0种。

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．已知，那么。

7．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为。

8．观察下列图形。

根据图①、②的规律，图④中三角形的个数为。

9．如图所示，已知电线杆ab直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面cd和地面bc上，如果cd与地面成45，∠a=60 cd=4m，bc=m，则电线杆ab的长为___m.

10．已知二次函数（其中a是正整数）的图象经过点a（－1，4）与点b（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 .

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知ab是⊙o的直径，bc是⊙o的切线，oc平行于弦ad，过点d作de⊥ab于点e，连结ac，与de交于点p. 问ep与pd是否相等？证明你的结论。

解：12．某人租用一辆汽车由a城前往b城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示。

若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元。试指出此人从a城出发到b城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：13．如图所示，在△abc中，∠acb=90°.

1）当点d在斜边ab内部时，求证：.

2）当点d与点a重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由。

3）当点d在ba的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由。

14．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.

1）求a，b，c中的最大者的最小值；

2）求的最小值。

13a．如图所示，⊙o的直径的长是关于x的二次方程（k是整数）的最大整数根。 p是⊙o外一点，过点p作⊙o的切线pa和割线pbc，其中a为切点，点b，c是直线pbc与⊙o的交点。若pa，pb，pc的长都是正整数，且pb的长不是合数，求的值。

解：14a．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式》0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作。

1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由。

2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？请说明理由。

解：（1）