2023年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参***。
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．答案：d
解：解方程组，得要使方程组的解是一对异号的数，只需或即a＜或a＞3．
2．答案：b
解：连结be，分别过e，f作ac的平行线交bc于点m和n，则em=1，bm=，mn=．∴小三角形的周长是cm．
3．答案：c
解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、
4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种．
4．答案：d
解：将抛物线c再变回到抛物线a：即将抛物线向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线，而抛物线关于x轴对称的抛物线是．
5．答案：a
解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是．
6．答案：a
解： 经实验或按下述方法可求得顶点c，e和f棋子不可能停到．
设顶点a，b，c，d，e，f，g分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是，应停在第格，这里是整数，且使0≤≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7，时， =1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋．若7＜k≤10，设（t=1，2，3）代入可得， =由此可知，停棋的情形与时相同．故第2，4，5格没有停棋，即顶点c，e和f棋子不可能停到．
7．答案：b
解：假设有整数根，不妨设它的根是2k或2k+1（k为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除a；若a，b，c分别取4，8，3则排除c，d．
8．答案：c
解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的2×2 小方格图形共有12个，故画出不同位置的l形图案个数是12×4=48．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．答案：
解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h)，则5h=3×4，h=．
10．答案：35％或65％（答对一个给3分）
解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％．
11．答案：
解：不难验证，a2=b2+c2．所以△abc是直角三角形，其中a是斜边．
bsinb+csinc=+=a=．
12．答案：
解：方程组的解为直线的交点是．
直线，与x轴的交点分别是（，0）、，0）．=所以。
13．答案：
解：连结dm并延长交ef于n，则△adm≌△enm，∴fn=1，则fm是等腰直角△dfn的底边上的高，所以fm=．
14．答案：
解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得。
或解得或。(此时不能构成三角形，舍去)，∴取其中n是3的倍数．
三角形的面积．对于，当n≥0时，随着n的增大而增大，故当n=3时，取最小．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．(12分)
解：将代入，得2b2+4b+c2=02分。
2分。 b，c都是整数，∴ 只能取 ，…4分。
相对应a1=4，a2=4，a3=０，a4=0．
故所求的值有4个：5，34分。
16．(12分)
解：设分配给甲店铺a款式服装x件(x取整数，且5≤x≤30)，则分配给甲店铺b款式服装(30)件，分配给乙店铺a款式服装(35－x)件，分配给乙店铺b款式服装[25－(30)]=x)件，总毛利润(设为y总)为：
y总=30x+40(30)+27(35)+36(x)= 1 9654分。
乙店铺的毛利润(设为y乙)应满足：
y乙=27(35)+36(x)≥950，得x3分。
对于y总=+1 965，y总随着x的增大而减小，要使y总最大，x必须取最小值，又x≥，故取x=21．即分配给甲店铺a，b两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺a，b两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大3分。
其最大的总毛利润为：y总最大=+1 965=1 944(元2分。
17．(12分)
解：(1) 一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=(线段的长度÷圆的周长)圈．因此若不考虑⊙o滚动经过n个顶点的情况，则⊙o自身恰好转动了一圈3分。
现证明，当⊙o在某边的一端，滚动经过该端点(即顶点)时，⊙o自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角．
如图所示，设∠a2 a1 an为钝角，已知an a1是⊙o的切线，⊙o滚动经过端点a1后到⊙的位置，此时a1a2是⊙的切线，因此oa1⊥ana1， a1⊥a1 a2．
当⊙o转动至⊙时，则∠γ就是⊙o自身转动的角度．
即⊙o滚动经过顶点a1自身转动的角度恰好等于顶点a1的一个外角3分。
对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证．（注：只证明直角的情况，只给2分）
凸n边形的外角和为360， ⊙o滚动经过n个顶点自身又转动了一圈3分。
⊙o自身转动了两圈．
2) ⊙o自身转动的圈数是圈3分。
18．(14分)
解：(1) 该二次函数图象的顶点p是在某条抛物线上2分。
求该抛物线的函数表达式如下：
利用配方，得y=(x+m+1)2，顶点坐标是p(，)
………2分。
方法一：分别取m=0，，1，得到三个顶点坐标是p1(，0)、p2(0，2)、
p3(，)过这三个顶点的二次函数的表达式是y=+x+2． …3分。
将顶点坐标p(，)代入y=－x2+x+2的左右两边，左边=，右边=)2+()2=，∴左边=右边．即无论m取何值，顶点p都在抛物线y=+x+2上．即所求抛物线的函数表达式是y=+x+2．…3分。
注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分）
方法二：令=x，将m=代入，得。
2－3()=x+23分。
即所求抛物线的函数表达式是y=+x+2上3分。
2) 如果顶点p(，)在直线y=x+1上，则=+12分。
即． ∴m=0或 m=．∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x+1图象的顶点p时，m的值是或02分。
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