天津赛区初赛。
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）
1．设，则代数式的值为().
a）0 （b）1 （c）﹣1 （d）2
答】c．解：由已知得于是。
2．已知为实数，且满足，，则。
的最小值为().
（a） （b）0 （c）5 （d）
答】d．解：由可得。
于是．因此，当时，的最小值为．
3．若，，且满足，则的值为().
a）1 （b）2 （c） （d）
答】c．解：由题设可知，于是，所以．
故，从而．于是．
4．设，则的整数部分等于().
a）4 （b）5 （c）6 （d）7
答】a．解：当，因为，所以．
于是有，故的整数部分等于4．
5．点分别在△的边上，相交于点，设四边形adef的面积为，则与的大小关系为().
a） （b） （c） （d）不能确定。
答】c．解：如图，连接，设，则，从而有．
因为，所以．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．两条直角边长分别是整数（其中），斜边长是的直角三角形的个数为。
答】31．解：由勾股定理，得．因为b是整数，，所以是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即．因此a一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．
7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是。
答】．解：在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6），（2，5），（2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是。
8．若的最大值为a，最小值为b，则的值为。
答】．解：由≥0，且≥0，得≤≤．
由于，所以当时，取到最大值1，故．
当或1时，取到最小值，故．所以，．
9．如图，双曲线（x＞0）与矩形oabc的边cb，ba分别交于点e，f，且af=bf，连接ef，则△oef的面积为。
答】．解：如图，设点b的坐标为，则点的坐标为。因为点在双曲线上，所以又点在双曲线上，且纵坐标。
为，所以点的坐标为。于是。
10．如图，在rt△abc中，斜边ab的长为35，正方形cdef内接于△abc，且其边长为12，则△abc的周长为。
答】84．解：如图，设bc＝a，ac＝b，则＝1225．①
又rt△afe∽rt△acb，所以，即，故．②
由①②得，解得a＋b＝49（另一个解－25舍去），所以．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值。
解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得。
5分。两式相加，得，即，所以，或10分。
解得或。又因为。
所以；或者，故，或2920分。
12．如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，求证：点为的中点。
证明：如图，延长交⊙于点，连接。
因为为⊙的直径，所以∠∠．5分。
故为⊙的直径。
于是10分。
又因为点为△的垂心，所以。
所以∥，∥四边形为平行四边形15分。
所以点为的中点20分。
13．如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点。
ⅰ）求证：∠=
ⅱ）若点的坐标为（0，1），且∠=60，试求所有满足条件的。
直线的函数解析式。
解：（ⅰ如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为。设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）
设直线的函数解析式为，并设的坐标分别为，.
由得，于是，即。于是，……5分。
又因为，所以。
因为∠∠，所以△∽△
故10分。ⅱ）解法一设，，不妨设≥>0，由（ⅰ）可知。
=∠，所以=，=
因为∥，所以△∽△
于是，即．所以．
由（ⅰ）中，即，所以。
于是，可求得。
将代入，得到点的坐标15分。
再将点的坐标代入，求得。
所以直线的函数解析式为。
根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或。……20分。
解法二设直线的函数解析式为，其中。
由（ⅰ）可知，∠=所以。
故。将代入上式，平方并整理得。
即。所以或。
又由（ⅰ）得，.
若代入上式得从而。
同理，若可得从而。
所以，直线的函数解析式为。
或20分。14．已知，且，证明：
中一定存在两个数，使得．
证明：令5分。
则10分。故一定存在≤≤2010，使得，从而15分。
即20分。
2023年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷
一 选择题 共5小题，每小题7分，满分35分 1 设，则3a3 12a2 6a 12 a 24 b 25 c d 2 规定 为有序实数对的运算，如果 a，b c，d ac bd，ad bc 如果对任意实数a，b都有 a，b x，y a，b 则 x，y 为 a 0，1 b 1，0 c 1，0 d 0，...
数学周报》杯”2023年全国初中数学竞赛试题 含答案
全国初中数学竞赛试题 四 参 一 选择题 共5小题，每小题7分，共35分。1 已知非零实数a，b 满足，则等于 a 1b 0c 1 d 2 答 c 解 由题设知a 3，所以，题设的等式为，于是，从而 1 2 如图，菱形abcd的边长为a，点o是对角线ac上的一点，且oa a，ob oc od 1，则...
《数学周报》杯2023年全国初中数学竞赛答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会。数学周报 杯 2010年全国初中数学竞赛试题参 一 选择题。二 填空题。9.众数，平均数，中位数。10.1 或1 11.等边三角形 12 0 三 解答题。17解 1 因为点a 1，4 在双曲线上，所以k 4.故双曲线的函数表达式为。设点b t，ab所在直线的函数表...