九年级实验班数学竞赛试卷。
15．已知关于x的方程x3－ax2－2ax+a2－1=0有且只有一个实数根。 求实数a的取值范围。
16．如图所示，在平面直角坐标系中有点a（-1，0）、点b（4，0），以ab为直径的半圆交y轴正半轴于点c。
1）求点c的坐标；
2）求过a、b、c三点的抛物线的解析式；
3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点d，使四边形bocd为直角梯形，求直线bd的解析式。
17．如图，⊙o为△abc的外接圆，∠bac=60°，h为边ac、ab上高bd、ce的交点，在bd上取点m，使bm=ch。
（1）求证：∠boc=∠bhc；
（2）求证：△bom≌△coh；
（3）求的值。
18．一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1, 2, ,17；第二行依次为18, 19, ,34; ，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ,13；第二列从上到下依次为14, 15, ,26；，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？
15、将原方程视为a的一元二次方程，即a2－( x2+2x)a+x3－1=0. 分解因式得[a－(x－1)][a－(x2+x+1)]=0. 则x=a+1或x2+x+1－a=0①.
（6分）
因x=a+1不是方程①的根，所以，当方程①无实根时，原方程有且只有一个实根。 于是△=1－4 ( 1－a)<0. 解得a<.（6分）
16、（1）解：如图，连结ac，cb。
依相交弦定理的推论可得oc2=oa·ob，解得oc=2。
∴c点的坐标为（0，2）（2分）
（2）解法一：设抛物线解析式是y=ax2+bx+c(a≠0)。（1分）
把a（-1，0），b（4，0），c（0，2）三点坐标代入上式得：，解之得
抛物线解析式是。（4分）
解法二：设抛物线解析式为（1分）
把点c（0，2）的坐标代入上式得。
抛物线解析式是。（4分）
3）解法一：如图，过点c作cd∥ob，交抛物线于点d，则四边形bocd为直角梯形。设点d的坐标是（x，2）代入抛物线解析式整理得x2-3x=0，解之得x 1=0，x 2=3。
点d的坐标为（3，2）（2分）
设过点b、点d的解析式为y=kx+b。
把点b（4，0），点d（3，2）的坐标代入上式得。
解之得 （2分）
直线bd的解析式为y=-2x+8（1分）
解法二：如图，过点c作cd∥ob，交抛物线于点d，则四边形bocd为直角梯形。
由（2）知抛物线的对称轴是，过d的坐标为（3，2）。
下同解法一）
17、（1）由∠bac=60°知∠boc=2∠bac=120°. 因∠bhc=∠dhe=360°－（90°+90°+∠bac）=120°，所以，∠boc=∠bhc.（3分）
（2）由ob=oc，得∠obc=∠ocb. 又∠boc=120°，则∠obc=（180°－120°）=30°，而∠hbc=90°－∠bca，知∠obm=∠obc－∠hbc=∠bca－60°. 又∠och=∠hcb－∠bco=∠hcb－（180°－120°）=hcb－30°，但∠hca=90°－∠bac=90°－60°=30°，所以，∠och=∠hcb+∠hca－30°－30°=∠bca－60°.
从而，∠obm=∠och. 又因为bm=ch，ob=oc，故△bom≌△coh.（4分）
（3）由（2）得oh=om，且∠coh=∠bom，从而，∠ohm=∠omh，∠moh=∠boc=120°，∠ohm=（180°－120°）=30°. 在△omh中，作op⊥mh，p为垂足，则op=oh. 由勾股定理，得。
所以，.（5分）
。位于从上往下数第m行，从左往右数第n列小方格中的数用（m, n）表示。 在原来状态下，数（m, n）是17（m－1）+n.
在后来的状态中，数（m, n）是13（n－1）+m，由17（m－1）+n=13（n－1）+m得4m－3n=1；这里1≤m≤13，1≤n≤17，解得（m, n）=（1, 1），（4，5），（7, 9），（10, 13），（13, 17）. 这些方格中的数分别为1, 56, 111, 166, 221，它们的和为555.（14分）
2024年杭州市各类高中招生文化考试。
22. （本小题满分10分）
在直角梯形abcd中，ab∥cd，∠abc=90°，ab=2bc=2cd，对角线ac与bd相交于点o，线段oa，ob的中点分别为e，f。
1）求证：△foe≌△doc；
2）求sin∠oef的值；
3）若直线ef与线段ad，bc分别相交于点g，h，求的值。
23. （本小题满分10分）
设函数（为实数）
1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像；
2）根据所画图像，猜想出：对任意实数，函数的图像都具有的特征，并给予证明；
3）对任意负实数，当时，随着的增大而增大，试求出的一个值。
24. （本小题满分12分）
图形既关于点o中心对称，又关于直线ac，bd对称，ac=10，bd=6，已知点e，m是线段ab上的动点（不与端点重合），点o到ef，mn的距离分别为，，△oef与△ogh组成的图形称为蝶形。
1）求蝶形面积s的最大值；
2）当以eh为直径的圆与以mq为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的取值范围。
22、解：（1）是的中位线，而。
3），同理。
23、解：（1）如两个函数为，函数图形略；
（2）不论k取何值，函数的图象必过定点，且与轴至少有1个交点。证明如下：
由，得。当即时，上式对任意实数k都成立，所以函数的图像必过定点。
又因为当时，函数的图像与x轴有一个交点；
当时，，所以函数图像与x轴有两个交点。
所以函数的图象与轴至少有1个交点。
（3）只要写出的数都可以。
函数的图像在对称轴直线。
的左侧，随的增大而增大。
根据题意，得，而当时，所以。
24、解：（1）由题意，得四边形是菱形。
由，得，，即。
所以当时，.
2）根据题意，得。
如图，作于， 关于对称线段为，1）当点不重合时，则在的两侧，易知。
由，得。即。
此时的取值范围为且。
2）当点重合时，则，此时的取值范围为。
中国教育学会中学数学教学专业委员会。
《数学周报》杯”2024年全国初中数学竞赛试题。
11）已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值。
解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得。
5分。两式相加，得，即 ，
所以， 或10分。
解得或。又因为
所以；或者，故，或2920分。
12）如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，求证：点为的中点。
证明：如图，延长交⊙于点，连接。
因为为⊙的直径，所以∠∠．5分。
故为⊙的直径。
于是10分。
又因为点为△的垂心，所以
所以∥，∥四边形为平行四边形15分。
所以点为的中点20分。
13） 如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点。
ⅰ）求证：∠=
ⅱ）若点的坐标为（0，1），且∠=60，试求所有满足条件的。
直线的函数解析式。
解：（ⅰ如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为。
设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）
设直线的函数解析式为，并设的坐标分别为 ,.
由得，于是 ，即 .于是，……5分。
又因为，所以。
因为∠∠，所以△∽△
故10分。ⅱ）解法一设，，不妨设≥>0，由（ⅰ）可知。
所以 =，因为∥，所以△∽△
于是，即．所以．
由（ⅰ）中，即，所以。
于是，可求得 .
将代入，得到点的坐标15分。
再将点的坐标代入，求得 .
所以直线的函数解析式为。
根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或。 …20分。
解法二设直线的函数解析式为，其中。
由（ⅰ）可知，∠=所以。
故 .将代入上式，平方并整理得。
即。所以或。
又由（ⅰ）得，.
若代入上式得从而 .
同理，若可得从而 .
所以，直线的函数解析式为。
或20分。14）已知，且，证明：中一定存在两个数，使得．
证明：令5分。
则10分。故一定存在≤≤2010，使得，从而15分。
即20分。2024年全国初中数学竞赛（海南赛区）
初赛试卷。19．如图10，正方形abcd的边长为1，对角线ac与bd相交于点o，点p是ab边上的一个动点（点p不与点a、b重合），cp与bd相交于点q．
1）若cp平分∠acb，求证：ap =2qo．
2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题。
把线段pc绕点p旋转90°，使点c落在点e处，并连接ae．设线段bp的长度为x，△ape的面积为s. 试求s与的函数关系式；
求出s的最大值，判断此时点p所在的位置．
20．文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2∶1，文昌到三亚的火车票**（部分）如下表所示：
1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
2019全国初中数学竞赛试题解答
1 设，则代数式的值为。a 24 b 25 63 c 6 9 d 3 12 解法一 直接思维 直接代入进行计算。立方计算，很费时间。原式 解法二 拆分 组合 提取 a 1 原式 3a3 3a2 9a2 9a 15a 15 3 a 1 3a2 9a 15 3 a 1 3a2 3a 6a 15 3 3a...
2024年全国初中物理竞赛参考解答
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