2023年全国初中数学竞赛预赛试题

2023年全国初中数学竞赛预赛试题（荆州市）

一、选择题(每小题6分，共30分)

1．若实数a、b、c、d满足a+1=b－2=c+3=d－4，则a、b、c、d这四个实数中最大的是（）

a．a b．bc．cd．d

2．如图1，在矩形abcd中，动点p从点b出发，沿bc、cd运动至点d停止。设点p运动的路程为x，△abp的面积为y.如果关于x的函数图象如图2所示，则bd的长是（）

a． b． c． d．3

3．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（）

a．1 b．1或2 c．2d．2或3

4．关于x满足，且的最大值为p，最小值为q，则pq的值是（）

a．6 b．5c．－5 d．4

5．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，ad=3，bc=5，将腰dc绕点d的逆时针方向旋转90°至de，连结ae，则△ade的面积是（）

a．1 b．2c．3d．4

二、填空题(每小题6分，共30分)

6．已知，则。

7．若不论自变量x取何实数时，二次函数y=2x2－2kx+m的函数值总是正数，且关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根。当k为符合条件的最大整数时，m的取值范围为。

8．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①ab=dc；②∠abe=∠dce；③ae=de；④∠a=∠d；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△bec不能构成等腰三角形的概率是。

9．如图，“l”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过a点切一刀，刀痕是线段ef.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则ef的长为。

10．规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）.定义运算“”：

a，b）（c，d）=(ac－bd，ad+bc).若（1，2）(p,q)=(5,0)，则p+q

三、解答题(共60分)

11．(本题满分10分)利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性。

1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式；

2）已知正数a、b、c和m、n、l，满足。a+m=b+n=c+l=k.试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn12．(本题满分12分)如图，△abc是等边三角形，△bdc是顶角∠bdc=120°的等腰三角形，m是ab延长线上一点，n是ca延长线上一点，且∠mdn=60°.

试**mb、mn、cn之间的数量关系，并给出证明。

13．(本题满分12分)某校10名教师带领八年级全体学生乘坐汽车外出参加社会实践活动，要求每辆汽车乘坐的人数相等。起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有师生正好能平均分乘到其他各车上。已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？

该校八年级有多少名学生？

14．(本题满分12分)如图，pq=10，以pq为直径的圆与一个以20为半径的o内切于点p，与正方形abcd切于点q，其中a、b两点在⊙o上。若ab=m+,其中m、n是整数，求m+n的值。

15．(本题满分14分)在平面直角坐标中，边长为2的正方形oabc的两顶点a、c分别在y轴、x轴的正半轴上，点o在原点。现将正方形oabc绕o点顺时针针旋转，旋转角为θ，当a点第一次落在直线y=x上时停止旋转。旋转过程中，ab边交直线y=x于点m，bc边交轴于点n(如图).

1）求边ab在旋转过程中所扫过的面积；

2）设△mbn的周长为p，在旋转正方形oabc的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；

3）当旋转角θ为多少度时，△omn的面积最小，并求出此时△bmn内切圆的半径。

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