2024年全国初中数学联赛参***及详解。
第一试。一、选择题。
1．（a）1）1和-1的倒数都等于自己本身，所以此命题错误；
2）此命题正确，根据正方形的判定方式，确定对角线互相垂直且四边相等的四边形为正方形；
3）任何数都有平方根，0也有平方根．但负数没有平方根，所以该命题错误；
4）大于直角的角可以是钝角，平角，周角，该命题错误．
故选a2．（c），
3．（a）∵
4．（d）因为上述任意三个边长都不能构成同一个三角形的三条边长，所以至少要有7个点。
5．（a）延长ba，cd交于点h， ，在中，m,n,h三点共线，∴，故，.
6．（b）如图，延长bp交aa1于，过p作交aa1于，过作交bb1于d.
由勾股定理 .
即 .二、填空题。
1．.由 ，
2．13. ∵又 ，，b≤，b可取到的整数值为-1，0，1，…，11共有13个。
3．≤s≤×3+②×5,得 ，×2-②×3,得 .
由 21+5s≥0得 s≥,14-3s≥0得 s≤.
故 ≤s反之，若s满足③，易知有满足①，②的a,b存在，所以≤s≤.
4．63.不妨设x为奇数，y为偶数，因为的个位数字是7，因此，的个位数字必是1,6;x,y的个位数字必是1,4或1,6或9,4或9,6.又，则x,y除以4的余数必为1,0.
由知，因此x可能值为1,9;21,29;41.经检验，仅当时，有，使，29+34=63.
第二试。一、
证：∵∠epg＝∠efp＝∠cpf，∠dpb＝∠apg＝45°＋∠epg＝∠bpf＋∠cpf＝∠bpc．
又∵pd＝pc，pb公用，△pdb≌△pcb．
bc＝bd．
又∵∠pbd＝∠cbp＝45°，∠cbd＝90°，bc⊥bd．
二、解：据题意，可得。
由关系式α（α1）＋β1）＝（1）（β1）得（α＋2－3αβ＝1 ②
把①代入②，得（a＋b）2－4ab＝1 ③
即（a－b）2＝1
又∵a＞b，∴a－b＝1 ④
又由判别式△≥0得。
3（a＋b）2≥16ab ⑤
将①代入⑤得。
a＋b）2≤4 ⑥
由④、⑥可知，满足条件的整数点对（a，b）只能是（1，0），（0，－1）
三、解：n的最大可能值是9
先证：3整除a＋b＋c
a＋b＋c＝a＋b＋2a＋5b＝3（a＋2b）
3｜a＋b＋c
设a、b被3除余数分别为ra、rb，则因a、b是大于3的质数，故ra≠0，rb≠0
若ra≠rb，则ra＝1、rb＝2或ra＝2，rb＝1，这时，2a＋5b必是3的倍数，即c是合数了，矛盾。
故ra＝rb即ra＝rb＝1或ra＝rb＝2，此时，a＋2b是3的倍数，从而9｜a＋b＋c
再证9是最大的。
2×11＋5×5＝47中，11＋5＋47＝63，又2×13＋5×7＝61中，13＋7＋61＝81，而（63，81）＝9，故9是最大可能的值．
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