1．单项选择题（5×7分=35分）
1.对正整数n，记n！=1×2×..n,则1!+2!+3!+.10!的末位数是( )
a．0 b．1 c．3 d．5
分析】时，！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选c．
2.已知关于x的不等式组恰好有5个整数解，则t的取值范围是( )
分析】，则5个整数解是．
注意到时，只有4个整数解．所以，本题选c
3.已知关于x的方程恰好有一个实根，则实数a的值有( )个．
a．1 b．2 c．3 d．4
分析】，下面先考虑增根：
）令，则，当时，（舍）；
）令，则，当时，（舍）；
再考虑等根：
）对，，当。
故，共3个。本题选c．
4.如图，已知△abc的面积为24，点d**段ac上，点f**段bc的延长线上，且bc=4cf，dcfe是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )
a．3 b．4 c．5 d．6
分析】设底边上的高为，则，本题选d．
5.在分别标有号码2,3,4,..10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是( )
分析】 本题选b．
二．填空题（5×7'=35'）
6.设，b是a2的小数部分，则的值为。
分析】考虑到，则。
则。7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是。
分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有，而总次数是次，则其概率为。
8.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为。
分析】先消去c，再配方估算．
观察易知上式中，故，经试算，时，均不是整数；当时，，于是有，故．
9.实数a、b、c、d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d，则所有满足条件的数组（a、b、c、d）为。
分析】由根与系数关系知，然后可得。
a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)
本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．
10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了支圆珠笔．
分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则。
令，则，又，即，
即他至少卖了207支圆珠笔．
三．解答题（4×20'=80'）
11．如图，抛物线y=ax2+bx-3，顶点为e，该抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，且ob=oc=3oa．直线与y轴交于点d，求∠dbc-∠cbe．
分析】易知，，作ef⊥co于f，连ce，易知△obc、△cef都是等腰直角三角形，则△cbe是直角三角形．分别在rt△obd、rt△bce中运用正切定义，即有，则从而可得∠dbc-∠cbe=45．
12．如图，已知ab为圆o的直径，c为圆周上一点，d为线段ob内一点(不是端点)，满足cd⊥ab，de⊥co，e为垂足，若ce=10，且ad与db的长均为正整数，求线段ad的长．
分析】设圆o半径为r，则由相似或三角函数或射影定理可知，，又。
由相交弦定理（考虑垂径时）或连ac、bc用相似或三角函数，易知，而②
令，①/即，显然有，则，即，为正整数，故，又也为正整数，经逐一试算，仅当这一组是正整数，故。
13．设a、b、c是素数，记，当时，a、b、c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
分析】a、b、c是素数，则为整数，则，为正整数．化简整理后，有。
),不能围成三角形；
综上所述，以a、b、c不能围成三角形．
14．如果将正整数m放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称m为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数) ．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，．．an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，．．an中都至少有一个为m的“魔术数”．
分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a1，a2，．．an互不相等，不妨设，余数必为，0，设，（）至少有一个为m的“魔术数”．因为（k是m的位数)，是7的倍数，当时，而除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当时，而除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当时，依抽屉原理，与m二者余数的和至少有一个是7，此时被7整除，即n=7．
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则方程的两个整数根为 1 1，由根与系数关系得 a，1 1 a 两式相加得 2 2 1 0即 2 2 3 或解得 或。又 a b c 1 1 a 0，b 1，c 2或a 8，b 15，c 6 故 3或 29 12 如图，点h为 abc的垂心，以ab为直径的 和 bch的外接圆 相交于点d，延长ad交...
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一 选择题 共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填 多填或错填都得0分 1 设，则代数式的值为。a 6b 24c d 2 在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是。abcd 3 在等边三...
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数学周报 杯 2011年全国初中数学竞赛试题。一 选择题 每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项 1 设 则代数式的值为 a 24 b 25 c d 2 对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对 a，b 与 c，d 之间的运算 为 a，b c，d ac bd，ad bc 如果对于任意实数u，...