全国初中数学竞赛决赛试卷2011
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1．一个凸多边形的每一个内角都等150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ）
a．42条 b．54条 c．66条 d．78条。
2．如图，矩形abcd的对角线相交于o，ae平分∠bad交bc于e．若∠cae＝15°，则∠boe＝（
a．30° b．45° c．60° d．75°
3．设方程的两根是c，d，则方程的分根是（ ）
a．a，b b．－a，－b c．c，d d．－c，－d
4．若不等式有解，则实数a的最小值是（ ）
a．1 b．2 c．4 d．6
5．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ）
a．18 b．24 c．30 d．36
6．不定方程的正整数解（x，y）的组数是（ ）
a．0组 b．2组 c．4组 d．无穷多组．
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上．
1．二次函数的图象关于直线x=1对称，则y的最小值是。
2．已知，则的值为。
3．已知△abc中，ab＝，bc＝6，ca＝，点m是bc的中点，过点b作am延长线的垂线，垂足为d，则线段bd的长度是。
4．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手参赛，每位选手都与其余10n－1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n的所有可能值是。
三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第题各25分）
1．（本题满分20分）
已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立．求实数a的所有可能值．
2．（本题满分25分）
抛物线的图象与x轴有两个交点m（x1，0），n（x2，0），且经过点a（0，1），其中0且s△bmn=s△amn．求该抛物线的解析式．
3．（本题满分25分）
如图，ad、ah分别是△abc（其中ab>ac）的角平分线、高线，m是ad的中点．△mdh的外接圆交cm于e．求证：∠aeb＝90°．
参***。一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
1、b 2、d 3、a 4、c 5、b 6、a
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第题各25分）
1、（本题满分20分）
已知是关于的一元二次方程的两个实数根，使得成立。求实数的所有可能值。
解：由条件知，解得或5分）
又由根与系数的关系知，，
于是。10分）
由，解得（舍去）或． （15分）
于是．综上所述，所求的实数20分 ）
2、（本题满分25分）
抛物线的图象与轴有两个交点，且经过点，其中．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点（异于点），满足是等腰直角三角形，且．求该抛物线的解析式．
解：由条件知该抛物线开口向上，与的两个交点在轴的右侧．
由于是等腰直角三角形，故点在轴的左侧，且．
故，从而5分）
于是直线的方程为：．
设，由知10分）
从而，即15分）
综上可知，该抛物线通过点，，．
于是20分）
解得．所以所求抛物线的解析式为25分）
3、（本题满分25分）
如图，、分别是（其中）的角平分线、高线，是的中点．的外接圆交于．求证：．
证明：如图，连结，是斜边的中点。
5分）四点共圆。
（10分）,∴即15分）,又∵
∽,20分）
四点共圆25分）
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一 选择题 本题满分42分，每小题7分 1 一个凸多边形的每一个内角都等于150 则这个凸多边形所有对角线的条数总共有 a 42条 b 54条 c 66条 d 78条。2 如图，矩形abcd的对角线相交于o，ae平分 bad交bc于e 若 cae 15 则 boe a 30 b 45 c 60 d ...
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