2023年全国初中数学竞赛试题。
一、选择题。
1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是【 】
a．11b．12c．13d．14
2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.
2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费【 】
a．60元b．66元c．75元d．78元
3．已知，那么代数式的值为【 】
abcd．
4．在三角形abc中，d是边bc上的一点，已知ac＝5，ad＝6，bd＝10，cd＝5，那么三角形abc的面积是【 】
a．30b．36c．72d．125
5．如果抛物线y＝x2－(k－1)x－k－1与x轴的交点为a，b，项点为c，那么三角形abc的面积的最小值是【 】
a．1b．2c．3d．4
6．在正五边形abcde所在的平面内能找到点p，使得△pcd与△bcd的面积相等，并且△abp为等腰三角形，这样的不同的点p的个数为【 】
a．2b．3c．4d．5
二、填空题。
7．已知，，那么x2＋y2的值为 ．
8．如图1，正方形abcd的边长为10cm，点e在边cb的延长线上，且eb＝10cm，点p在边dc上运动，ep与ab的交点为f．设dp＝xcm，△efb与四边形afpd的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是 （0＜x＜10）．
9．已知ab≠0，a2＋ab－2b2＝0，那么的值为。
10．如图2，已知边长为1的正方形oabc在直角坐标系中，a，b两点在第ⅰ象限内，oa与x轴的夹角为30°，那么点b的坐标是 ．
11．设有一个边长为1的正三角形，记作a1（如图3），将a1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作a2（如图4）；将a2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作a3（如图5）；再将a3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作a4，那么a4的周长是 ．
12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台．
三、解答题
13．设实数s，t分别满足19s2＋99s＋1＝0，t2＋99t＋19＝0，并且st≠1，求的值．
14．如图6，已知四边形abcd内接于直径为3的圆o，对角线ac是直径，对角线ac和bd的交点是p，ab＝bd，且pc＝0.6，求四边形abcd的周长．
15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：．
1）证明：可以得到22；
2）证明：可以得到2100 ＋ 297－2．
一、1．c 2．b 3．d 4．b 5．a 6．d
选择题。1．解因为凸n边形的内角和为(n 2)·180°，所以(n 2)·180°＜1999°，n 2＜12，n＜14．
又凸13边形的内角和为。
13 2)×180°＝1980°＜1999°，故n的最大值是13．答（c）．
2．解因为0.88＞0.8，所以这用户4月份用的煤气超过60立方米．设用了x立方米，那么。
60×0.8＋1.2(x 60)＝0.88x，x＝75，75×0.88＝66（元）．答（b）．
4．解如图，过点c作ch⊥ad于h，因为△acd是等腰三角形，所以，在直角三角形ach中，ac＝5，ah＝3．于是ch＝4．
答：（b）．
5．解首先，△＝k 1)2＋4(k＋1)＝k2＋2k＋5＝(k＋1)2＋4＞0，所以对于任意的k值，抛物线与x轴总有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标为x1，x2，那么。
6．解如图，点p只能在直线l1（即直线be）与直线l2上，其中l2与直线cd的距离等于l1与直线cd的距离，所以，等腰三角形pab中，ab为底边时，ab的垂直平分线与l1交于p1，与l2交于p2．
等腰三角形pab中，pa为底边时，以b为圆心，ba为半径在直线l1上可截得点p3、p4．等腰三角形pab中，pb为底边时，点e符合条件．
所以，共有p1，p2，p3，p4，e五个点符合条件．答：（d）．
二、7．10 8．y ＝ 5x ＋ 50 9． 10． 11． 12．6
填空题。8．解由dp＝x得。
9．解由a2＋ab 2b2＝0得a＝b或a＝ 2b，10．解作ad⊥x轴于d，be⊥x轴于e，af⊥be于f．易知。
afb≌△ado，fb＝od，fa＝ed＝da．
因为oa＝1，∠doa＝30°，11．解从a1开始，每进行一次操作，所得。
12．解设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米(c≠0)，由条件可得。
如果要在10分钟内抽完水，至水需要抽水机的台数为。
三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：
又∵st≠1，
∴，t是一元二次方程x2 ＋ 99x ＋ 19 ＝ 0的两个不同的实根，于是，有
即st ＋ 1 ＝－99s，t ＝ 19s．
14．解：设圆心为o，连接bo并延长交ad于h．
ab＝bd，o是圆心，
∴bh⊥ad．
又∵∠adc＝90°，
∴bh∥cd．
从而△opb∽△cpd． ，
∴cd＝1．
于是ad＝．
又oh＝cd＝，于是
ab＝， bc＝．
所以，四边形abcd的周长为．
15．证明：
也可以倒过来考虑：
或者．）
或倒过来考虑：
注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．
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