试卷（全卷满分为180分， 考试时间120分钟）
一 、选择题答题表(选择题为2023年广东省初中数学竞赛初赛试题，每题4分，共120分)。
二 、解答题（共4小题，每题15分，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
31. 31. 已知抛物线。
1）求证：这个抛物线的图象与轴有两个交点；
2）若抛物线与轴的两个交点a、b分别在原点的两侧，并且ab＝，试求的值；
3）设为抛物线与轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点、，并且。
△的面积等于27，试求的值。
32. 如图，射线am，bn都垂直于线段ab，点e为am上一点，过点a作be的垂线ac分。
别交be，bn于点f，c，过点c作am的垂线cd，垂足为d．若cd＝cf，求的值。
33. 如图，ab是⊙o的直径，ab=d，过a作⊙o的切线并在其上取一点c，使ac=ab，连结oc交。
o于点d，bd的延长线交ac于e，求ae的长。
34.设a为整数，使得关于x的方程a-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有。
可能的有理根。
解答题参***与评分说明。
31. 已知抛物线。
1）求证：这个抛物线的图象与轴有两个交点；
2）若抛物线与轴的两个交点a、b分别在原点的两侧，并且ab＝，试求的值；
3）设为抛物线与轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点、，并且。
△的面积等于27，试求的值。
31．解：（1）根据题意，得－x2＋mx－m＋2=0时，3分。
这个抛物线与轴必有两个交点5分。
2）解：设抛物线与轴交点为，当－x2＋mx－m＋2=0时。7分。ab
9分。另法〗,…7分。
ab＝, 9分。
又∵，∴取10分。
3）当时， 得11分。
设，则。根据题意13分。
相加，得：
15分。32. 如图，射线am，bn都垂直于线段ab，点e为am上一点，过点a作be的垂线ac分。
别交be，bn于点f，c，过点c作am的垂线cd，垂足为d．若cd＝cf，求的值。
32.解：如图，设．
因为rt△afb∽rt△abc，所以5 分。
又因为 fc＝dc＝ab，所以
即10分。解得，或（舍去）．
又rt△∽rt△，所以，
即15 分。
33. 如图，ab是⊙o的直径，ab=d，过a作⊙o的切线并在其上取一点c，使ac=ab，连结oc
交⊙o于点d，bd的延长线交ac于e，求ae的长。
解：如图连结ad，可证得∠1=∠2=∠3=∠4… 2 分。
δcde∽δcad
5 分。又∵δade∽δbda
8 分。由①、②及ab=ac，可得ae=cd10 分。
又由δcde∽δcad可得，即ae2=cd2=ce·ca
设ae=x，则ce=d－x ，于是 x2=d(d－x12 分。
即有ae = x = 负值已舍去15 分。
34. 设a为整数，使得关于x的方程a-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根。
34.解：当a＝0时，方程的有理根为2分。
以下考虑a≠0的情况，此时原方程为一元二次方程，由判别式即3＋18a－25≤05分。
得整数a只能在其中的非零整数1，－1，－2，－3，4，－5，－6，－7中取值10 分。
由方程得。当a＝1，由（※）得x＝2和4；
当a=－1时，方程无有理根；
当a＝－2，由（※）得x＝1和－；
当a=－3时，方程无有理根；
当a＝－4，由（※）得x＝－1和；
当a=－5时，方程无有理根；
当a＝－6，由（※）得x＝和－；
当a＝－7时，由（※）得x＝和15分。
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