2023年初中数学竞赛模拟题。
适合阶段：初中三年级）
时间：100分钟满分：120分。
一、填空（每空2分，共20分）
1、已知 ，，那么。
2、如图1以ab为直径画一个大半圆，bc＝2ac，分别以ac，cb为直径在大半圆内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于。
3、加油站a和商店b在马路mn的同一侧（如图2），a到mn的距离大于b到mn的距离，ab＝7米，一个行人p在马路mn上行走，问：当p到a的距离与p到b的距离之差最大时，这个差等于米。
4、图3中有＿＿＿个正方形，有个＿＿＿三角形。
5、在平面直角坐标系中，点p（m为实数）不可能在第象限。
6、某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可以少租一辆，且余30个座位。则该校去参加春游的人数为若已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独一种客车要节省，按这种方案需要租金元。
7、如图4，p是平行四边形abcd内一点，且s△pab＝5，s△pad＝2，则阴影部分的面积为。
8、如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，
c（a+b）=170，那么abc的值是。
a）672 （b）688 （c）720 （d）750
二、简答下列各题（第题各8分，第11题9分，第题各10分，共55分，要求写出简略过程）
9、已知a，b，c都是整数，当代数式的值能被13整除时，那么代数式的值是否一定能被13整除，为什么？
10、如图5所示，在四边形abcd中，，，四边形abem，mefn，nfcd的面积分别记为，和，求 =？提示：连接ae、en、nc和ac）
图511、已知是正整数，且与都是完全平方数。 是否存在，使得是质数？如果存在，请求出所有的值；如果不存在，请说明理由。
12、某市**号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的**号码升位后的八位数恰好是原六位数的**号码的33倍。问这家原来的**号码是多少？
13、图6是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。 请写出这个9位数，简单说明理由。
图614、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？
（前两问不要求说明理由）
三、详答下列各题（每题15分，共45分，要求写出详细过程）
15、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：
“路路和王雪的年龄的和是35岁”. 已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁。 请回答：
谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？
16、请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由。
17、甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了。 已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：
这条椭圆形跑道长多少米？
参***。一、填空。
二、简答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、解：设x，y，z，t是整数，并且假设 ①
比较上式a，b，c的系数，应当有。
取，可以得到 ，，则有。
既然和都能被13整除，就能被13整除。
说明】 表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取，则有 ，，则有；
实际上，②是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到，这里k是任意整数，将代入其余方程，解得，，这里k是任意整数，则可以有。
10、解：如图5a，连接ae、en和nc，易知。
由 ，两个式子相加得 ①
并且四边形aecn的面积。
连接ac(如图5b)由三角形面积公式，易知，，两个式子相加得。
s四边形aecn =
将①式和②相加，得到，既然，，因此，.
11、解：不存在正整数，使得是质数。理由如下：
设，，其中，都是正整数，则。
若，则不是质数；若，则。
于是，矛盾。
综上所述，不存在正整数，使得是质数。
12、解：设原**号码为，则升位后为，令，，即，化简得，的整数），故，，∴
于是。故所求的**号码为859375.
13、解答：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第。
n列的方格。
第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图6左下角的“小九宫”
格中的9应当填在（9，2）格子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图6右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；
第七行、第八行有数字6，图6中下部的“小九宫”格的数字6应当填。
在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所。
以，7应当填在（9，8）； 3自然就填在（9，9）了，填法见图6a
九位数是 495186273.
14、解答：
（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法。 因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形。 但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造个不同的三角形。
2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形。
3）用英文大写字母a、b、c、d、e、f记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母。 这里不同的英文大写字母仅有6个。 因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为a.
根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点a之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同。 但是，除a之外，我们仅有5个不同的字母。 所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边。
又显然，，和这4个三角形两两没有公共边。 所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边。
三、解答题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
15、解：设刘芳的年龄为x岁。
刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳。 注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳。
壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为(
路路岁，他的妈妈应当是岁，和为
菲菲岁，她的妈妈应当是岁，和为
由于6个人共105岁，所以，
③解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁。
答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁。
16、解：（1）由于，故有 . 所以，能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）.
2）不妨设，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足。
由，则有，从而，所以 .
又有，所以 ，故或16.
若，则有 ，由于，并且 ，所以，.
故 ，100或121. 将和121分别代入 ，没有一个是完全平方数，说明当时，无解。
若 ，则 . 类似地，可得： ，即 ，此时，不是整数。
综上所述，不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和。
17、解：让我们画两个示意图(上图)，并设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是a。再设跑道长是l，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为l。
甲跑完第一圈，乙跑了l，乙再跑余下的l，甲已折返，且以(1＋)＝的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了，这时，乙折返并以(1十)＝的速度跑着。从这时起，甲、乙速度之比是÷＝，即5∶3。所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的的，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点×＝。
可见两次相遇点间的距离是l＝190(米)，即l＝190(米)，l＝400(米)
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