2024年全国初中数学竞赛试题及参***。
一、选择题。
1．设非零实数，，满足则的值为（ ）
答案】a解答】由已知得，故．于是，所以．
2．已知，，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ）
答案】b解答】由于是关于的一元二次方程，则．因为，，且，所以，且 ，于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即．
3．如图，在rt△abc中，已知o是斜边ab的中点，cd⊥ab，垂足为d，de⊥oc，垂足为e．若ad，db，cd的长度都是有理数，则线段od，oe，de，ac的长度中，不一定是有理数的为（ ）
答案】d解答】因ad，db，cd的长度都是有理数，所以，oa＝ob＝oc＝是有理数．于是，od＝oa－ad是有理数．
由rt△doe∽rt△cod，知，都是有理数，而ac＝不一定是有理数．
4．如图，已知△abc的面积为24，点d**段ac上，点f**段bc的延长线上，且，dcfe是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
答案】c解答】因为dcfe是平行四边形，所以de//cf，且ef//dc．
连接ce，因为de//cf，即de//bf，所以s△deb = s△dec，因此原来阴影部分的面积等于△ace的面积．
连接af，因为ef//cd，即ef//ac，所以s△ace = s△acf．
因为，所以s△abc = 4s△acf．故阴影部分的面积为6．
5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：
且，则的值为（ ）
答案】c解答】设，则。
于是．二、填空题。
6．设，b是的小数部分，则的值为。
答案】解答】由于，故，因此．
7．如图，点d，e分别是△abc的边ac，ab上的点，直线bd与ce交于点f，已知△cdf，△bfe，△bcf的面积分别是3，4，5，则四边形aefd的面积是。
答案】解答】如图，连接af，则有：
解得，．所以，四边形aefd的面积是．
8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为。
答案】解答】由已知，消去c，并整理得。
由a为正整数及≤66，可得1≤a≤3．
若，则，无正整数解；
若，则，无正整数解；
若，则，于是可解得，．
）若，则，从而可得；
）若，则，从而可得．
综上知的最大值为．
9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则所有满足条件的数组为 ．
答案】，（为任意实数）
解答】由韦达定理得。
由上式，可知．
若，则，，进而．
若，则，有（为任意实数）．
经检验，数组与（为任意实数）满足条件．
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了支圆珠笔．
答案】207
解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则。
所以，于是是整数．又，所以，故y的最小值为207，此时．
三、解答题。
11．如图，抛物线，顶点为e，该抛物线与轴交于a，b两点，与轴交于点c，且ob＝oc＝3oa．直线与轴交于点d．
求∠dbc∠cbe．
解答】将分别代入，知，d(0，1)，c(0，)，所以b(3，0)，a(，0)．直线过点b．
将点c(0，)的坐标代入，得．
抛物线的顶点为(1，)．于是由勾股定理得。
bc＝，ce＝，be＝．
因为bc2＋ce2＝be2，所以，△bce为直角三角形，．
因此tan==．又tan∠dbo=，则∠dbo＝．
所以，．12．设△的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数．
解答】分三种情况讨论．
）若△为锐角三角形．
因为，所以由，可得，于是．
）若△为钝角三角形．
当时，因为，所以由，可得，于是。
当时，不妨假设，因为，所以由，可得，于是．
）若△为直角三角形．
当时，因为为边的中点，不可能共圆，所以不可能等于；
当时，不妨假设，此时点b与h重合，于是总有共圆，因此可以是满足的所有角．
综上可得，所有可能取到的度数为所有锐角及．
13．设，，是素数，记，当时，，，能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
解答】不能．
依题意，得．
因为，所以．
又由于为整数，为素数，所以或，．
当时，．进而，，，与，是素数矛盾；
当时，，所以，，不能构成三角形的三边长．
14．如果将正整数m放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称m为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数．
解答】若n≤6，取1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数m是≤＜≤7的公共的魔术数，即7|()7|()则有7|()但0＜≤6，矛盾．
故n≥7．又当为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为位数（为正整数）．则（…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数，≤＜7，满足7|[(即，从而7|，矛盾．
故必存在一个正整数≤≤7，使得7|(，即为m的魔术数．
所以，n的最小值为7．
2024年全国初中数学竞赛试题
则方程的两个整数根为 1 1，由根与系数关系得 a，1 1 a 两式相加得 2 2 1 0即 2 2 3 或解得 或。又 a b c 1 1 a 0，b 1，c 2或a 8，b 15，c 6 故 3或 29 12 如图，点h为 abc的垂心，以ab为直径的 和 bch的外接圆 相交于点d，延长ad交...
2024年全国初中数学竞赛试题
一 选择题 共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填 多填或错填都得0分 1 设，则代数式的值为。a 6b 24c d 2 在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是。abcd 3 在等边三...
2024年全国初中数学竞赛试题
数学周报 杯 2011年全国初中数学竞赛试题。一 选择题 每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项 1 设 则代数式的值为 a 24 b 25 c d 2 对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对 a，b 与 c，d 之间的运算 为 a，b c，d ac bd，ad bc 如果对于任意实数u，...