5、用十字相乘法把二次三项式分解因式。
知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式。
进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
分类解析】1. 在方程、不等式中的应用。
例1. 已知：，求x的取值范围。
例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
2. 在几何学中的应用。
例。 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足。
求长方形的面积。
3、在代数证明题中的应用。
例。 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。
4、中考点拨。
例1.把分解因式的结果是。
例2. 因式分解。
5、题型展示。
例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ）
a. 1 b. -1 c. d. 2
例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。
求证： 例3. 若有一因式。求a，并将原式因式分解。
实战模拟】1. 分解因式：
2. 在多项式，哪些是多项式的因式？
3. 已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。
4. 分解因式：
5. 已知：，求的值。
6、因式分解小结。
知识精读】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
分类解析】1. 通过基本思路达到分解多项式的目的。
2. 通过变形达到分解的目的。
例1. 分解因式。
3. 在证明题中的应用。
例：求证：多项式的值一定是非负数。
4. 因式分解中的转化思想。
例：分解因式：
中考点拨：例1.在中，三边a,b,c满足。
求证： 例2. 已知。
题型展示：1. 若x为任意整数，求证：的值不大于100。
2. 将。实战模拟】
1. 分解因式：
2. 已知：的值。
3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。
4. 求证：是6的倍数。（其中n为整数）
5. 已知：a、b、c是非零实数，且，求a+b+c的值。
6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小。
7、分式的概念、分式的基本性质。
知识精读】分式的概念要注意以下几点：
（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；
（3）分式有意义的条件是分母不能为0。
分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中m“不为零”的条件。
下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。
分类解析】例1. 已知为有理数，要使分式的值为非负数，应满足的条件是（ ）
ab. cd.，或。
例2. 当x为何值时，分式的值为零？
例3. 已知，求的值（ ）
a. b. c. d.
例4. 已知，求的值。
例5. 已知：，求的值。
中考点拨：1.若代数式的值为零，则x的取值范围应为（ ）
a.或 b. c. d.
2. 已知：，求的值。
题型展示：1. x为何值时，成立？
2. 把分式化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？
实战模拟】1. 在下列有理式中，分式的个数是（ ）
a. 1b. 2c. 3d. 4
2. 如果分式的值为零，则a的值为（ ）
a. 2b. -2c.且 d. 0
3. 填空题：
（2）当___时，分式的值等于零；
当___时，分式无意义。
4. 化简分式：
5. 已知：，求的值。
6. 已知：，求的值。
8、等腰三角形。
知识精读】－）等腰三角形的性质。
1. 有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
二）等腰三角形的判定。
1. 有关的定理及其推论。
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线。
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形abc中，d是ac的中点，e为bc延长线上一点，且ce＝cd，dm⊥bc，垂足为m。求证：m是be的中点。
例2. 如图，已知：中，，d是bc上一点，且，求的度数。
例3. 已知：如图，中，于d。求证：。
4、中考题型：
1.如图，△abc中，ab＝ac，∠a＝36°，bd、ce分别为∠abc与∠acb的角平分线，且相交于点f，则图中的等腰三角形有（ ）
a. 6个 b. 7个 c. 8个 d. 9个。
2.已知：如图，在△abc中，ab＝ac，d是bc的中点，de⊥ab，df⊥ac，e、f分别是垂足。求证：ae＝af。
5、题形展示：
例1. 如图，中，，bd平分。
求证：。实战模拟】
1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
a. 2cmb. 8cmc. 2cm或8cmd. 以上都不对。
2. 如图，是等边三角形，，则的度数是___
3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上。
4.中，，ab的中垂线交ab于d，交ca延长线于e，求证：。
9、分式的运算。
知识精读】1. 分式的乘除法法则。
当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法。
（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：
①取各分母系数的最小公倍数；
②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；
③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则。
（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则。
（n为正整数）
4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：
（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；
（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；
（3）运算中及时约分、化简；
（4）注意运算律的正确使用；
（5）结果应为最简分式或整式。
初二暑假数学培优训练
初二暑期培优练习2 1 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点c，ab x轴于点，的面积为1，则的长为 a.b.c.4 d.5 2.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对 a，b 进入其中时，会得到一个新的实数 a2 b 1，例如把...
初二暑假数学培优训练
初二暑期培优练习5 1 在数的大家庭中，除了有我们学过的实数以外，还有一种数叫做虚数 虚数的单位为 i 定义i2 1，则有 其中a b c d是实数 则 2 如图所示，小明把等腰直角三角尺放置在等宽且互相平行的格线上，恰好等腰直角三角尺的三个顶点都落在格线上，若相邻两条格线之间的宽度为1 cm，则等...
初二暑假数学培优训练
初二暑期培优练习7 1 如图，直线与双曲线 交于点 将直线向右平移个单位后，与双曲线 交于点，与轴交于点，若，则 2 如图，直线与轴 轴分别交于a b两点，把 aob绕点a顺时针旋转60 后得到 ao b 则点b 的坐标是 a 4，b 4 c 3 d 3 如图，rt abc中，bc acb 90 a...