2011“北郊杯”数学竞赛高二试卷。
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，总分48分）
1．下列函数中，最小值为4的是写出所有符合条件的函数序号）
2．函数的递减区间是。
3．已知函数，若，则实数的取值范围。
是。4．已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为。
5．已知函数，等差数列的公差为。若，则。
6．直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是。
7．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为。
8．设、分别为双曲线的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为。
9．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么 。
10．已知点是平面上一个动点，且满足，则点的轨迹对应的方程为。
11．若个正实数使等式。
成立，则的值分别为。
12．若不等式对一切正整数都成立，则正整数的最小值为。
二、解答题（本大题共6小题，满分52分）
13．（本题满分8分）已知函数。
1）证明：函数的图像关于点成中心对成图形；
2）当时，求函数的值域。
14．（本题满分8分）已知函数。
1）将函数化简成（，，的形式；
2）当时，求函数的值域。
15．（本题满分8分）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，求的最大值。
16．（本题满分8分）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点。
1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；
2）设过点的直线与曲线相交于不同的两点、，若的面积不小于，求直线斜率的取值范围。
17．（本题满分10分）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，。
1）求；（2）求证。
18．（本题满分10分）设数列的前项和为．已知，，。
1）设，求数列的通项公式；
2）若，，求的取值范围。答案：
13.解：（1）设是图像上的一点，则，又点关于点的对成点为，因为。
又。即也在的图像上。
2）可以证得在上单调递增，的值域为。
14. 解：（1）
2）由得。故g(x)的值域为。
15.解：由题意，f（-1，0），设点，则有，解得，因为，， 因为，所以当时，取得最大值。
16．解：（1）以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，则，依题意得，曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线，设双曲线的方程为，则 ，解得。
曲线的方程为。
2）依题意，可设直线l的方程为，代入双曲线的方程并整理得。
直线l与双曲线相交于不同的两点e、f，
设，则，于是｜ef｜＝
则 综上，直线l的斜率的取值范围为。
17．解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
依题意有①由题意，为正整数，即为正整数。
解①得，故。
18．解：（1）依题意，，即，由此得
因此， ①2 由① 知，于是，当时，
又，综上，所求的的取值范围是。
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