—《推理与证明》
知识点》一．推理：
合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---已知的一般结论；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论---根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明。直接证明。
综合法。一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
分析法。一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明---反证法。
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
练习题》一．选择题。
1．数列0，1，1，2，4，7，13，x…中的x等于（ ）
2．已知，，且，则（ ）
3．欲证，只需证（ ）
4．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为（ ）
5．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）
．有一个解有两个解 ｃ．至少有三个解 ｄ．至少有两个解。
6．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理（ ）
．小前提错结论错 ｃ．正确大前提错。
7．在等差数列中，若，公差，则有，类比上述性质，在等比数列中若，，则的一个不等关系是（ ）
8．若能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（ ）
．锐角三角形直角三角形 ｃ．钝角三角形不能确定。
9．下列推理正确的是（ ）
．如果不买彩票，那么就不能中奖；因为你买了彩票，所以你一定中奖。
．因为，所以。
．若，则。．若，，则。
10．正整数按右表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）
11．已知且，则不能等于（ ）
12．已知，，，则正确的结论是（ ）
a，b大小不定。
二．填空题。
13．用三段论证明为奇函数的步骤是。
14．写出命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定 ．
15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数据填入表中空白处．
16．观察；，写出与以上两个等式规律相同的通式为。
三．解答题。
17．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液升，搅匀后再倒出溶液升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为（每次注入的溶液浓度都是p%），计算，并归纳出的计算公式．
18．已知a与b均为有理数，且都是无理数，证明：是无理数．(用反证法证)
19．用分析法证明：若，则．
20．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列，其中”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
21．自然状态下的鱼类是一种可再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用表示某鱼群在第年年初的总量，且．不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及**捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
1）求与的关系式；
2）猜想：当且仅当，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
参***。一．选择题。
二．填空题。
13.对定义域内的每一个，满足的函数是奇函数大前提。
小前提。所以是奇函数结论。
14. 三角形中至少有两个内角是直角。
三．解答题。
17.解：，所以归纳得．
18.证明：假设为有理数，则．
由得．所以．
因为为有理数且为有理数，所以为有理数．
即为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，所以一定为无理数．
19. 证明：要求，只需证．
因为，所以上式两边均大于零．
因此只需证，即．
只需证，只需证，即证，它显然是成立的，所以原不等式成立．
20. 解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列，其中．
证明如下：设等差数列的公差为，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
21. 解：（1）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，**捞量为，死亡量为，因此，即，；
2）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，．即．
猜想：当且仅当且时，每年年初鱼群的总量保持不变．
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