吉林师大实验高中2023年12月数学月考题。
命题人：孙亚娟。
1. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
ab． cd．
2．设a ∈r，则a>1是<1 的。
a．充分但不必要条件 b．必要但不充分条件。
c．充要条件 d．既不充分也不必要条件。
3．给出下列四个命题①② 其中是真命题是。
ab．④①cd．③①
4．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率e=（
a．5bcd．
5．直线y=x－1被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为（ ）
ab. c.3或 d.
6、化简方程=10为不含根式的形式是…(
（a） （b） （c） （d）
7．如图，已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( )
8、一个圆心在椭圆右焦点f2，且过椭圆的中心o(0, 0)，该圆与椭圆交于点p，设f1是椭圆的左焦点，直线pf1恰和圆相切于点p，则椭圆的离心率是（ ）
（a）－1 （b）2－ （cd）
9、过双曲线的右焦点作直线l，交双曲线于a、b两点，若|ab|=4，则这样的直线的条数为（ ）
a. 1b.2c.3d.4
10．如图，在正方体abcd－a1b1c1d1中，p是侧面bb1c1c内一动点，若p到直线bc与直线c1d1的距离相等，则动点p的轨迹所在的曲线是（ ）
a．直线 b．圆。
c．双曲线 d．抛物线。
11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（
abc） （d）
12.我们把离心率为e＝的双曲线(a>0，b>0)称为**双曲线．给出以下几个说法：
双曲线x2－＝1是**双曲线；②若b2＝ac，则该双曲线是**双曲线；
如图，若∠f1b1a2＝90°，则该双曲线是**双曲线；④如图，若∠mon＝90°，则该双曲线是**双曲线．其中正确的是( )
a．①②b．①③cd．①②
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，满分20分。把答案填在相应的横线上。
13．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为。
14.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨。
15.椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。
今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点a、b是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,静放在点a的小球(小球的半径忽略不计)从点a沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点a时，小球经过的路程是。
16. 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点d， 且，则椭圆的离心率为。
3．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算骤．
17．(本小题满分12分）已知有两个不等的负根，无实根，若p或q为真，p且q为假，求：实数m的取值范围。
18、一货轮航行到m处，测得灯塔s在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度（要求作图）
8.（15分） 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程。
20．（本小题满分12分）
已知双曲线的中心在原点，离心率，若它的一条准线与抛物线的准线重合，求该双曲线与抛物线的交点到原点的距离。
21.(本题满分12分)设是正数组成的数列，其前n项和为sn，并且对于所有的n n+，都有。
1）求数列的通项公式(写出推证过程)；
2）设，是数列的前n项和，求使得对所有n n+都成立的最小正整数的值。
22.已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为。 (1)求椭圆的方程；(2)已知定点，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由。
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