2013-2014宝安中学高二年级理科数学第一届。
“王子杯”数学竞赛试题。
命题：许世清审题：周晓兰蔡毅陈少晗。
本试卷分为第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分，第ⅰ卷为1-8题，共40分，第ⅱ卷为9-17题，共80分。全卷共计120分。考试时间为90分钟。
注意事项：1、答第ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。
2、第ⅰ卷、第ⅱ卷均完成在答题纸上。
3、考试结束，监考人员将答题纸收回。
第ⅰ卷 （本卷共计40 分）
一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计40分）
1.命题“”的逆否命题是。
a 若或则b若且则。
c 若则或d若则且。
2.等比数列中，已知，，则=
a 1 b 2 c 3 d 4
3．条件，条件，则的。
a、充要条件b、既不充分也不必要条件
c、必要不充分条件d、充分不必要条件。
4.在△abc中，已知，那么△abc一定是
a．直角三角形 b．等腰三角形 c．等腰直角三角形 d．正三角形
5.设双曲线以椭圆的长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为。
a. b. c. d.
6．某工厂的年产值第二年比第一年的增长率为p1,第三年比第二年的增长率是p2，而这两年中的年平均增长率为p，在p1+p2为定值的情况下，p的最大值是。
a. b. cd.
7.椭圆的准线方程是。
a b c d
8.已知，，且，，，则的最小值为。
a、 b、 c、 d、
第ⅱ卷 （本卷共计80分）
二、填空题：（每小题5分，共计20分）
9.在等差数列中，公差＝1，＝8，则＝
10.若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=__
11.对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出了如下一种解法：
解析：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为。
参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为。
12.已知方程表示的曲线是抛物线，则实数k的值等于。
三、解答题：（每题12分，共计60分）
13. 在△abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=，且。
1）求角c的大小；
2）求△abc的面积。
14．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是．
1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
2)b为何值时，命题“（a－2）x2＋bx＋3－b＜0”的是假命题？
15.定义在上对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。
16. 设函数，对于正数数列，其前项和为，且，.
1）求数列的通项公式；
2）是否存在等比数列，使得对一切正整数都成立？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由。
17.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．
1）求动点的轨迹的方程；
2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．
答案：选择题bddb cbac
填空题：9.45 10. 11. 12.
解答题：13. 解：∵a+b+c=180°
由 ……1分。
3分。整理，得 ……4分解得： …5分。
∵ ∴c=606分。
2）由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosc，即7=a2+b2－2ab ……7分。
=25－3ab 10分。
……12分。
14. 【解】 (1)由根与系数的关系解得：a＝3.……3分。
所以不等式变为：2x2－x－3>0，解集为： (16分。
(2)由题意知：不等式x2＋bx＋3－b≥0恒成立，……8分。
变形得，设，……11分。
所以当且仅当即时，，故。……12分。
15. 解：要使原不等式恒成立，只要恒成立……2分。
由恒成立。得………5分。
由恒成立………8分。
故所求a的取值范围是………12分。
16. 解：（1）由， ，
得。即3分。
即，即。＞，∴即数列是公差为2的等差数列，……5分。
由①得，，解得，因此 ，数列的通项公式为7分。
2）假设存在等比数列，使得对一切正整数都有。
当时，有 ④
－④，得 ，
由得11分。
又满足条件，因此，存在等比数列，使得对一切正整数都成立12分。
17. （1）解：设，则，．
即，即，所以动点的轨迹的方程． …4分。
2）解：设圆的圆心坐标为，则。
圆的半径为．
圆的方程为．
令，则，整理得。
由①、②解得，．
不妨设，，，
8分。当时，由③得，．
当且仅当时，等号成立．
当时，由③得，．
故当时，的最大值为12分。
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