马鞍山市第二中学2011—2012学年度。
第二学期期中素质测试。
高二年级数学学科理科试题。
命题人：陈昌富审题人：张以虎。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共75分）
1、若复数的实部与虚部互为相反数，则。
abcd、2
2、用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么。
中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是。
a、假设都是偶数b、假设都不是偶数；
c、假设至多有一个偶数； d、假设至多有两个偶数。
3、函数与的图象在上的交点有。
a、1个b、2个c、3个d、4个。
4、设全集为r，集合则等于 （
ab、 cd、
5、下列程序执行后输出的结果是。
ab、0c、1d、2
6、函数的图象与轴。
所围成的封闭图形的面积为。
ab、1c、2d、
7、设，且，则有。
a、 b、 c、 d、
8、过抛物线焦点的弦ab以为中点，则的长为。
abc、8d、12
名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人相对顺序不变，则不同调整方法的种数是。
abc、 d、
10、自然数1，2，3，…，n按照一定的顺序排成一个数列：若满足。
则称数列为一个“优数列”，当时，这样的“优数列”共有 （
a、24个b、23个c、18个d、16个。
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、在△abc中，，则。
12、与曲线相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有条；
13、求值。
14、已知函数的图象在点处的切线方程为，则函数的解析式。
15、平面几何里有结论：“边长为的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，若考察棱长为的正四面体（即各棱长均为的三棱锥），则类似的结论为。
三、解答题：(本大题共6小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤。)
16、（12分）已知函数，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。
（1）求的对称轴方程；
（2）求的单调递增区间。
17、（本小题满分12分）
已知的展开式中，前三项系数成等差数列。
1） 求 ；
2） 求第三项的二项式系数及项的系数；
3）求含项的系数。
18（12分）某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘的产值函数为（单位：万元），成本函数（单位：万元），又在经济学中，函数的边际函数定义为。
（1）求利润函数及边际利润函数（提示：利润产值成本）；
（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
19、、（12分）如图，已知点p在正方体的对角线上，。
1）求与所成角的大小；
2）与平面所成角的大小。
20、（本小题满分13分）
已知函数。1） 当时，函数取得极大值，求实数的值；
2） 若存在，使不等式成立，其中为的导函数，求。
实数的取值范围；
3） 求函数的单调区间。
21、（本小题满分13分）
已知函数对于任意的，都有。
1）求的取值范围；
2）若，用数学归纳法证明：；
3）在（2）的条件下证明：
答题卷。一、选择题：
二、填空题。
三、解答题：
马鞍山第二中学2011—2012学年度。
第二学期期中素质测试。
高二年级数学学科理科试题答案。
一、选择题、（每小题5分，共75分）
1、c； 2、b； 3、a； 4、c； 5、c； 6、a； 7、c； 8、d； 9、c； 10、a；
二、填空题：（每小题5分，共25分）
条； 13、； 14、； 15、棱长为的正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值；
三、解答题：（共75分）
16、（12分4分）
令，将代入可得：，，对称轴方程为，即8分）
2）由。可得单调增区间为12分）
17、（1）前三项系数为成等差数列。
即，或（舍4分）
（2）由，知通项公式。
第三项的二项式系数为。
第三项的系数为8分）
（3）令得，含项的系数为12分）
18、(12分)（1）；
4分）2） 时，
所以当时，，当时，时，有最大值7分）
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大8分）
3），所以，当时，单调递减，所以单调递减区间为，且… （10分）
是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，利润在减少12分）
19、（12分）如图，以d为坐标原点，棱da、dc、dd1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则d（0，0，0），a（1，0，0），c（0，1，0），c1（0，1，1），连结bd、b1d1，在平面bb1d1d中，延长dp交b1d1于h，设，由。
又。解得， 4分。
即dp与cc1所成的角为458分。
2）平面aa1d1d的一个法向量是。
设dp与平面aa1d1d所成的角为。
所以dp与平面aa1d1d所成的角为3012分。
20、（13分）（1）定义域，，由，得，此时，当时，，函数在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
所以函数在处有极大值4分）
2），令。在上是增函数8分）
当时，，函数在上是增函数；
当时，令；若时，若时，；
综上，当时，递增区间是，当时，递增区间是，递减区间是13分）
21、（13分）（1），则或（舍），此时对都成立，则3分）
2），当时，，则在上递增。
下面用数学归纳法证明：
当时，由。假设时，成立。则当时，即时，不等式也成立。
由①②可知，当时，成立8分）
3）由可得，则。
那么，令，则在上是增函数。
又。13分）
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