第一类：考查相互独立事件同时发生的概率。
例1.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2珠，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互相不影响，求移栽的4株大树中： （至少有1株成活的概率； （两种大树各成活1株的概率。
练习1：甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分。
已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．（1）求甲恰好得30分的概率； （2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望；（3）求甲恰好比乙多30分的概率。
练习2：袋中装有红球和黄球共7个，从中任取2个球都是黄球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取、乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到黄球时即终止（每个球在每一次被取出的机会是等可能的）．
1）求袋中原有黄球的个数；（2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到黄球的概率。
练习3：如图，由m到n的电路中有4个元件，分别标为t1，t2，t3，t4，电流能通过t1，t2，t3的概率都是p，电流能通过t4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知t1，t2，t3中至少有一个能通过电流的概率为0.
999． （求p；（ⅱ求电流能在m与n之间通过的概率；
（ⅲ）表示t1，t2，t3，t4中能通过电流的元件个数，求的期望．
第二类：利用排列组合计算古典概型。
例2：厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。
ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验。求至少有1件是合格品的概率；（ⅱ若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收。
求该商家可能检验出不合格产品数x的分布列及期望ex，并求该商家拒收这批产品的概率。
练习1：某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第。
一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
练习2：某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层可以停靠。若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数。
求：（ⅰ随机变量ξ的分布列；（ⅱ随机变量ξ的期望。
第三类：n次独立重复试验与二项分布。
例3：某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为。甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（ⅰ求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（ⅱ求中奖人数ξ的分布列及数学期望。
练习1:有一批食品出厂前要进行五项指标抽检，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂，已知每项指标抽检是相互独立的，且每项指标抽检不合格的概率都是0.2.
(ⅰ求这批食品不能出厂的概率；
求该批食品直到五项指标全部检查完毕，才能确定该批食品出厂的概率。
练习2：为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳。
各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望e为3，标准差为。（1）求n和p的值，并写出的分布列；（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种。求需要补种沙柳的概率。
第四类：部分排列与全排问题。
例4．某商场“十。一”期间举行有奖**活动，顾客只要在商店购物满８00元就能得到一次摸奖机会。摸奖规则是：
在盒子内预先放有5个相同的球，其中一个球标号是０，两个球标号都是４０，还有两个球没有标号。顾客依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个没有标号的球就停止摸球，否则将盒子内球摸完才停止。奖金数为摸出球的标号之和（单位：
元），已知某顾客得到一次摸奖机会。（ⅰ求该顾客摸三次球被停止的概率；
ⅱ）设（元）为该顾客摸球停止时所得的奖金数，求的分布列及数学期望。
第五类：综合。
第16届亚运会的一套吉祥物是由五只“吉祥羊”组成，五只羊分别命名为“阿祥”、“阿和”、“阿如”、“阿意”、“乐羊羊”，俗称“吉祥五羊”。甲、乙两位小学生各有一套吉祥物，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲将赢得乙一个吉祥羊；否则乙赢得甲一个吉祥羊。
现规定掷骰子的总次数达9次时，或在此前某学生已赢得所有吉祥羊时游戏终止，记游戏终止时投掷骰子的总次数为。（ⅰ求掷骰子的次数为7的概率； （求的分布列及数学期望e。
第一类：考查相互独立事件同时发生的概率例1：
练习1：解： 1. （1）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为，（2）的取值为0，10， 30，60
的概率分布如下表：
（3）设甲恰好比乙多30分为事件a，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件b1,甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件b2，则a=为互斥事件。
. 所以，甲恰好比乙多30分的概率为。
练习2：解：（1）设袋中原有个黄球，由题意知。
所以，解得（舍去），即袋中原有3个白球．
2）用x表示取球次数，由题意，x的可能取值为1，2，3，4，5，，
所以，取球次数x的分布列为：
3）因为甲先取，所以甲只能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到黄球”的事件为a，则因为事件两两相斥，所以。
练习3：第二类：利用排列组合计算古典概型。
例2：解：（ⅰ记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件a
用对立事件a来算，有。
ⅱ）可能的取值为，，
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件b，则商家拒收这批产品的概率。
所以商家拒收这批产品的概率为。
练习1：解(1.)
的数学期望e()=
2)p()=
练习2：解：（1）的所有可能值为0，1，2，3，4，5。由等可能性事件的概率公式得。
ii）由（i）得的期望为。
第三类：n次独立重复试验与二项分布例3：
练习1:【分析及解】 (设能出厂的事件为，则不能出厂的事件为，事件包括：①抽检5次，指标全部合格；②抽检5次，指标有一项不合格．
所以，.ⅱ）5项指标全部检测完才能出厂，等价于前4项指标抽检中有一项不合格，而第5次抽检合格，此时的概率为。
5项指标全部检测完才能判断该批食品不成出厂等价于前4次指标抽检中有一项不合格，而第5次抽检指标也不合格，此时的概率为。
所以该批食品直到5项指标全部检查完毕才能出厂的概率为。
ⅱ）（解法2）如果检测4次都合格，则不需要第5次就能决定其出厂，如果检测4次有2项或2项以上指标不合格，也不需要第5次，就能决定其不出厂．
所以需要检测5次才能决定出厂的情形是抽检4次恰有一次不合格，即
练习2：解：由题意知，服从二项分布b（n，p），p（=k）=（1－p）n-k，k=0，1，…，n.
1）由e=np=3，()2=np（1－p）=，得1－p=，从而n=6，p=，故的分布列为。
2）记“需要补种沙柳”为事件a，则p（a）=p（≤3），得。
p（a）＝＝或p(a)=1-p(＞3)＝1-＝.
第四类：部分排列与全排问题。
例4．解（ⅰ）记“顾客摸球三次被停止”为事件a，则。
第五类：解：（1）当=7时，甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为，因此=
（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为，向上的点数是偶数出现的次数为n，则由，可得：当，或，时，当，或因此的可能取值是，每次投掷甲赢得乙一个吉祥羊与乙赢得甲一个吉祥羊的可能性相同，其概率都是。
所以的分布列是：所以。
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