初三数学。
1．如图，直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点a（4，0）和点b（0，3），点p沿直线l由b点向a点匀速运动，同时点q沿x轴由a点向坐标原点o匀速运动，两点运动的速度都是每秒1（单位长度），运动t秒，它们到达图中所示的位置，连结pq。
1）当t为多少时，paq为直角三角形？
2）当t为多少时， paq的面积最大？
3）求（2）中paq三个顶点p、a、q确定的抛物线的函数表达式。
2．如图，直角坐标系中，以p（1，1）为圆心，为半径的⊙p交x轴于a、b两点，交y轴于c、d两点。
1）直接写出a、b、c、d四点的坐标（演算在草稿进行）；
2）分别过a、c两点作⊙p的切线a和b，求a、b的函数表达式（写出切线a的表达式的求解过程，切线b的表达式直接写出即可，演算在草稿进行。）
3）第（2）问中的a、b两条切线是否互相垂直？若垂直，请写出证明；若不垂直，请说明理由。
3．如图，直线ab与x轴交于a（4，0），与y轴交于b（0，2）；直线cd与x轴交于c（2，0），与y轴交于d（0，4）。
1）求直线ab的函数表达式（要有过程）；写出直线cd的函数表达式（过程在草稿纸做）。
2）设ab与cd相交于点p，连结ad，求△pad的面积。
4．如图， 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点a（6，0）和点b（2，0），与y轴交于点c（0，）；p经过a、b、c三点。
1）求二次函数的表达式；
2）求圆心p的坐标；
3）二次函数在第一象限内的图象上是否存在点q，使得以p、q、a、b四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点q的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由。
5．如图，以△abc的边ab为直径的⊙o经过bc的中点d，过d作de⊥ac于e。
1）求证：ab=ac（2分）
2）求证：de是⊙o的切线（3分）
3）若⊙o的半径为3，切线长de=，求∠c的值。（4分）
6．如图，在平面直角坐标系中有矩形oabc，o是坐标系的原点，a在轴上，c在轴上，oa=6，oc=2。
1）分别写出a、b、c三点的坐标。（3分）
2）已知直线经过点p（0，）并把矩形oabc的面积平均分为两部分，求直线的函数表达式。（3分）
3）设（2）的直线与矩形的边oa、bc分别相交于m和n，以线段mn为折痕把四边形mabn翻折，使a、b两点分别落在坐标平面的、位置上。求点的坐标及过、b、c三点的抛物线的函数表达式。（4分）
1． [1) 2分，(2)3分，3）4分共9分。]
解：由题可知：
ab=5，bp=t，ap=5－t，aq= t，oq=4－t，1）分两种情况。
pq⊥x轴（如图甲）
rt△aqp∽rt△aob
即。 (1分)
pq⊥ab（如图乙）
rt△apq∽rt△aob
即。 (2分)
答：当或时，△ paq为rt△。
2）过p作pm⊥x轴于m（如图丙）
rt△amp∽rt△aob
即。 (1分)
s△paq即s△paq2分)
当时，s△paq最大。(3分)
3）过p作pn⊥y轴于n（如图丙）
rt△pnb∽rt△aob
1分)p(,)而q（4－t，）
p（，）q（，）而a （4，） 2分)
设抛物线的函数式为。
把p（，）的坐标代入，解得。
抛物线的函数式为。
即4分)2 [(1) 4分，(2)3分，3）3分，共10分。]
1）解：a(-1, 0)
b(3, 0)
c(0, 3)
d(0, -1)
2）解：如图，易证。
rt△aoe∽rt△pma
e(0，-2)
设a的表达式为。
把a(-1，0)的坐标代入求得。
故a的表达式是 (2分)
同理可求得b的表达式是 (3分)
3）a和b是互相垂直的。
证明：如图，设a、b的交点为f
易证四边形pmon是正方形。
∠mpn=90°
又易证rt△cnp≌rt△apm
∠cpn=∠apm
∠cpn+∠apn=∠apm+∠apn
即∠apc=∠mpn=902分)
而∠paf=∠pcf=90°
∠afc=360°－90°3=90°
a⊥b33.（8分，（1）3分，（2）5分）
1）解。设ab的函数表达式为y=kx+2，把a（4，0）的坐标代入得：
0＝4k+2
ab的函数表达式是。
………2分）
同理可求得，cd的函数表达式是。
………3分）
2)解：把ab和cd的函数表达式组成方程组：
解得：2分）
p（，）过p作pe⊥x轴于e，则pe= …3分）
s△pad答：△pad的面积等于平方单位。……5分）
4．（10分，（1）3分，（2）4分，（3）3分）
1）解：设二次函数的表达式为y=a(x－6)(x－2) …1分）
把c（0，）的坐标代入得： =12a
2分）二次函数的表达式是 ……3分）
即。2）解：在rt△boc中，1分）
过p作bc的垂线交bc于d、交ｘ轴于e。
由垂经定理得bd=bc＝2
易证：rt△bde≌rt△boc（aas）
de=oc=, be=bc=4 ……2分）
过p作pf垂直ｘ轴于f
由垂经定理bf=ab＝２，ef=be+bf=63分）
又易证rt△efp∽rt△edb（两个角对应相等）
而of=ob+bf=4
p（44分）
3）答：存在符合条件的q点。……1分）
解：过p作x轴的平行线交二次函数的图象于q
和q′（q在q’的右边），显然q和q′的纵坐标。
与p的纵坐标相同，即为，q和q′在二次函数的图象上，解得：，
q(82分）
q′(0，)，不在第一象限，舍去。
证明：连结pb、aq
pq∥ｘ轴。即pq∥ba（作图）
pq=8-4＝4＝ba
四边形pqab是平行四边形 ……3分）
一组对边平行且相等）
5．（9分）
1）（2分）
证明：连结ad
ab是⊙o的直径， ∠adb=∠adc=901分）
又∵ d是bc的中点，∴ bd=cd ②
而 ad=ao ③
由①②③得 △abd≌△acd （sas）
ab=ac2分）
2）（3分）
证明：连结od
o是ab的中点，d是bc的中点。
od是△abc的中位线。
od//ac2分）
∠ode=∠ced=90° 即 de⊥od
de是⊙o的切线3分）
3）（4分）
解：在rt△aed中，∠4+∠3=90°
在rt△adc中，∠c+∠3=90°
∠4=∠c
又 ∵ 2=∠1
△aed∽△dec
1分） ⊙o的半径为3，∴ ab=ac=6
设ae=，则。
又 代入（※）得
解得2分） 当时，ce=6—2=4
在rt△dec中， =
3分）当时，ce=6—4=2
4分）6．（10分）
1）（3分）
解：a（6，01分）
b（6，22分）
c（0，23分）
2）（3分）
解：由题意知，必过矩形oabc的对角线的交点。
连结ac、ob，设交点为q
由矩形性质得 q（3，11分）
把p（0，），q（3，1）的坐标分别代入。
得 解得2分）
直线的函数表达式是3分）
3）（4分）
解：由题知。
m是直线与轴的交点。
当时， m（1，0）
om=1，am=5，由矩形的中心对称性。
得cn=am=5，bn=om=1
过n作ne⊥轴于e
则ae=bn=1，me=am-ae=5-1=4
又 ne=2
在rt△men中1分）
连结交于f，由轴对称性质得，即af⊥mn， =2af
又连结an，在△amn中，af·mn=am·ne
2分）过作⊥轴于d
则 △ad∽△afm（一个直角对立相等及一个公共角）
即 在rt△a中， ②
由①②得（4，43分）
把（4，4），b（6，2），c（0，2）的坐标分别代入。
得。解得 ，，
过、b、c三点的抛物线的函数表达式是 ……4分）
培优班初三寒假数学
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