1.如图，已知rt△abc中，ac＝3，bc＝ 4，过直角顶点c作ca1⊥ab，垂足为a1，再过a1作a1c1⊥bc，垂足为c1，过c1作c1a2⊥ab，垂足为a2，再过a2作a2c2⊥bc，垂足为c2，…，这样一直做下去，得到了一组线段ca1，a1c1，，…则ca1
2.在中，为的中点，动点从点出发，以每秒1的速度沿的方向运动．设运动时间为，那么当秒时，过、两点的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
3.将矩形纸片abcd按如图所示的方式折叠，ae、ef为折痕，∠bae＝30°，ab＝，折叠后，点c落在ad边上的c1处，并且点b落在ec1边上的b1处．则bc的长为（ ）a、 b、2 c、3 d、
4.如图，四边形abcd是矩形，ab:ad = 4:
3，把矩形沿直线ac折叠，点b落在点e处，连接de，则de:aca．1:3 b．3:
8 c．8:27 d．7:25
5.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）
a． b． c．3 d．
6.如图，正方形纸片abcd的边长为1，m、n分别是ad、bc边上的点，将纸片的一角沿过点b的直线折叠，使a落在mn上，落点记为a′，折痕交ad于点e,若m、n分别是ad、bc边的中点，则a′n若m、n分别是ad、bc边的上距dc最近的n等分点（,且n为整数），则a′n用含有n的式子表示）
7.如图，正方形abcd的边长为2，将长为2的线段qr的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果q点从a点出发，沿图中所示方向按a→b→c→d→a滑动到a止，同时点r从b点出发，沿图中所示方向按b→c→d→a→b滑动到b止，在这个过程中，线段qr的中点m所经过的路线围成的图形的面积为（ ）
a．2 b． c． d．
8.如图1，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，点a的坐标为，直线bc经过点，，将四边形oabc绕点o按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线bc相交于点p、q．
1）四边形oabc的形状是。
当时，的值是。
2）①如图2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；
如图3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．
3）在四边形oabc旋转过程中，当时，是否存在这样的点p和点q，使？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
9.若p为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．
1）若点为锐角的费马点，且，则的值为___
2）如图，在锐角外侧作等边′连结′．
求证：′过的费马点，且′＝．
10如图，在直角梯形oabc中， oa∥cb，a、b两点的坐标分别为a（15，0），b（10，12），动点p、q分别从o、b两点出发，点p以每秒2个单位的速度沿oa向终点a运动，点q以每秒1个单位的速度沿bc向c运动，当点p停止运动时，点q也同时停止运动．线段ob、pq相交于点d，过点d作de∥oa，交ab于点e，射线qe交轴于点f．设动点p、q运动时间为t（单位：秒）．
1）当t为何值时，四边形pabq是等腰梯形，请写出推理过程；
2）当t＝2秒时，求梯形ofbc的面积；
3）当t为何值时，△pqf是等腰三角形？请写出推理过程．
11.已知正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作ef⊥bd交bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg．
1）求证：eg=cg；
2）将图①中△bef绕b点逆时针旋转45，如图②所示，取df中点g，连接eg，cg．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
3）将图①中△bef绕b点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
12.如图，在rt△abc中，∠acb=90°, b =60°，bc=2．点0是ac的中点，过点0的直线l从与ac重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交ab边于点d.过点c作ce∥ab交直线l于点e，设直线l的旋转角为α.
1)①当度时，四边形edbc是等腰梯形，此时ad的长为。
②当度时，四边形edbc是直角梯形，此时ad的长为。
2)当α=90°时，判断四边形edbc是否为菱形，并说明理由．
13.三个牧童a、b、c在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：
把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童b和牧童c又分别提出了新的划分方案．牧童b的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童c的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．
请回答：1）牧童b的划分方案中，牧童 （填a、b或c）在有情况时所需走的最大距离较远；
2）牧童c的划分方案是否符合他们商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）
14.问题解决。
如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．
类比归纳。在图（1）中，若则的值等于若则的值等于若（为整数），则的值等于用含的式子表示）
联系拓广。如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于用含的式子表示）
15.在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点。现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.
1）求边在旋转过程中所扫过的面积；
2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；
3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论。
16.如图，已知矩形abcd中，ab=4cm，ad=10cm，点p在边bc上移动，点e、f、g、h分别是ab、ap、dp、dc的中点。
求证：ef+gh=5cm；
求当∠apd=90o时，的值．
17.如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．
1）求的面积；
2）求矩形的边与的长；
3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
18.如图，直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）．
1）求两点的坐标；
2）用含的代数式表示的面积；
3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为，①当时，试**与之间的函数关系式；②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？
19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形aobc在第一象限内，e是边ob上的动点（不包括端点），作∠aef = 90，使ef交矩形的外角平分线bf于点f，设c（m，n）．
1）若m = n时，如图，求证：ef = ae；
2）若m≠n时，如图，试问边ob上是否还存在点e，使得ef = ae？若存在，请求出点e的坐标；若不存在，请说明理由．
20.如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，∠abc＝90°，已知ad＝ab＝3，bc＝4，动点p从b点出发，沿线段bc向点c作匀速运动；动点q从点d 出发，沿线段da向点a作匀速运动．过q点垂直于ad的射线交ac于点m，交bc于点n．p、q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当q点运动到a点，p、q两点同时停止运动．设点q运动的时间为t秒．
1)求nc，mc的长(用t的代数式表示)；
2)当t为何值时，四边形pcdq构成平行四边形？
3)是否存在某一时刻，使射线qn恰好将△abc的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
4)**：t为何值时，△pmc为等腰三角形？
数学初三培优训练卷
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初三数学培优训练 2
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