初三寒假目录。
第1讲：圆和圆的位置关系。
第2讲：圆的有关计算。
第3讲：圆复习1
第4讲：圆复习2
第5讲：三角形复习。
第6讲：四边形复习。
第7讲：圆与三角形四边形。
第8讲：三角函数与圆。
第9讲：中考中的一次函数。
第10讲：中考中的反比例函数。
第11讲：圆与函数。
第12讲：一诊模拟。
第1讲圆与圆的位置关系。
一、知识梳理。
1、 圆与圆的位置关系：（圆心距d，半径r1、r2）
2、两圆的连心线是两圆的对称轴。两圆相交连心线垂直平分公共弦，两圆相切连心线必过切点。
3、外公切线长：l=；内公切线长：l
二、典型问题分析：
问题1．如图⊙o和⊙oa交于m、n，且a在⊙o上，弦mc交⊙o于点d，连结ad，nc，求证：da⊥nc
问题2．⊙o和⊙o1外切于c，ab是外公切线， 延长⊙o交ab的延长线于p点，若∠p=300，ab=2，求两圆的半径。
问题3.如图，δabc的∠c＝rt∠，bc＝4，ac＝3，两个外切的等圆⊙o1，⊙o2各与ab，ac，bc相切于f，h，e，g，求两圆的半径。
问题4.如图，⊙o1和⊙o2相切于点p，ab切两圆于a，b，δpab的周长为40，面积为60，求p点到ab的距离。
问题5.如图，⊙o与⊙o1外离，ab，cd是内公切线，oo！是圆心距，⊙o半径为4，⊙o1半径为6，oo1＝20，求两圆内公切线所夹的锐角及内公切线长。
问题6. 已知⊙o1与⊙o2的半径长分别为方程的两根，若圆心距o1o2的长为5，则⊙o1与⊙o2的位置关系如何？
问题7.如图，⊙o1与⊙o2外切于点p，ab过p点分别交⊙o1和⊙o2于a、b两点，bd切⊙o2于点b，交⊙o1于c、d两点，延长cp交⊙o2于q。
1）求证：；
2）设⊙o2的半径为，⊙o1的半径为，若bp＝2，ad＝，求的值；
3）若ap∶pb＝3∶2，且c为bd的中点，求ad∶bc的值。
问题8、如图，已知⊙o1与⊙o2相交于a、b两点，p为⊙o1上一点，pb的延长线交⊙o2于c，pa交⊙o2于点d，cd的延长线交⊙o1于点n。
1）过点a作ae∥cn交⊙o1于点e，求证pa＝pe；
2）连结pn，若pb＝4，bc＝2，求pn的长。
问题9、如图，已知⊙o与⊙相交于a、b两点，点o在⊙上，⊙的弦oc交ab于点d。
1）求证：；
2）如果ac＋bc＝oc，⊙o的半径为，求证：ab＝。
问题10、已知点a在⊙o上，⊙a与⊙o相交于b、c两点，⊙a的弦bd与⊙o相交于e。
1）如图1，判定△ced的形状，并证明你的结论；
2）如图2，当bd经过o时，若⊙a的半径为6，ce＝1，求⊙o的半径。
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1． 如图，两圆外切于p，直线交两圆于a，b，c，d，求证：∠apd＋∠bpc＝180°
2． 如图，⊙o和⊙o1内切于e，大圆弦ad经过⊙o1且交⊙o1于b，c，ab：bc：cd＝2：4：3，求⊙o1与⊙o半径之比。
3． 如图，已知⊙o1和⊙o2相交于a，b，过a作直线分别交⊙o1，⊙o2于c，d，过b作直线分别交⊙o1，⊙o2于e，f，求证：ce∥df
4、如图，⊙o1与⊙o2相交于a、b两点，p为⊙o2上一点，pa交⊙o1于c，pb的延长线交⊙o1于d，过d、c的直线交⊙o2于e、f。求证：pe＝pf。
第2讲圆的有关计算。
一、 知识梳理：
1、扇形的弧长和面积：
2）圆锥侧面积：
圆锥底面周长等于展开扇形的弧长：
2.已知圆内接正n边形，请填写下表：
二、典型例题分析。
例1、在rt△abc中，已知ab=6，ac=8，∠a=90°．如果把rt△abc绕直线ac旋转一周得到一个圆锥，其全面积为s1；把rt△abc绕直线ab旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为s2．那么s1：s2等于（ ）
a．2：3b．3：4c．4：9d．5：12
例2、 已知圆锥的底面积为4πcm2，母线长为3cm，求它的侧面展开图的圆心角．
例3、 若圆锥的底面直线为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为 cm．（结果保留π）
例4 圆锥的侧面积是18π，它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的高和锥角．
例5 一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥母线与底面半径的比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的表面积．
例6．若△abc为等腰直角三角形，其中∠abc=90°，ab=bc=5cm，求将等腰直角三角形绕直线ac旋转一周所得到图形的面积．
例7．用一块圆心角为300°的扇形铁皮做一个圆锥形烟囱帽，圆锥的底面直径为1m，求这个扇形铁皮的半径．
例8．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头重合部分，那么这座粮仓实际需用油毡的面积是多少？
例9．如图，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形abc，求：
1）被剪掉的阴影部分的面积；
2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少？（结果可用根号表示）
例10．小明要在半径为1m，圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮．小明在扇形铁皮上设计了如图3-8-11的甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并计算哪个正方形的面积较大？（估算时取1．73，结果保留两个有效数字）
例11．要将一块直径为2m的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．
操作：方案一：在图3-8-14中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
方案二：在图3-8-15中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
**：（1）求方案一中圆锥底面的半径；
2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面半径；
3）设方案二中半圆圆心为o，圆柱两个底面的圆心为o1、o2，圆锥底面的圆心为o3，试判断以o1、o2、o3、o为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．
例12.如图，已知扇形oacb中，∠⊙aob＝120°，弧ab长为l＝4，⊙o和弧ab、oa、ob分别相切于点c、d、e，求⊙o的周长。
例13.如图，半径为的正三角形abc的中心为o，过o与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。
例14.如图，割线pcd过圆心o，且pd＝3pc，pa、pb切⊙o于a、b，∠apb＝60°，pa＝4，ab与pd相交于e，求弓形acb的面积。
例15.如图，同心圆o，大圆的面积被小圆所平分，若大圆的弦ab，cd分别切小圆于e、f点，当大圆半径为r时，且ab∥cd，求阴影部分面积。
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1． 在半径为2cm的圆内°的圆心角所对的弧长分别为。
2． 弧长为15cm，它所对的圆心角为60°，圆的直径为。
3． 边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为。
4． 矩形abcd中，对角线ac＝4，∠acb＝30°，以直线ab为轴旋转一周得到圆柱的表面积是。
5． 如图，矩形abcd中，ad＝2ab＝2。以d为圆心ad为半径的。
弧交bc于f，交dc的延长线于e，则图中阴影部分面积。
为。6． 如图，矩形abcd中，以ab为直径的半圆o切cd于e，ab＝a，求夹在bd，de及弧be间阴影部分面积。
7． 如图，pa、pb切⊙o于a、b，若∠apb＝60°，⊙o半径为3，求阴影部分面积。
8． 如图，ab是⊙o直径，cd切⊙o于e，bc⊥cd，ad⊥cd交⊙o于f，∠a＝60°，ab＝4，求阴影部分面积。
第3讲圆总复习（一）
一．点与圆的位置关系有三种。
设⊙o的半径为r，点a与圆心o之间的距离为d，则有：
点a在⊙o外d＞r
点a在⊙o上d=r
点a在⊙o 内d＜r
二、圆的对称性：
1． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2． 推论1：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（不是直径的弦）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。 其中只要有两个条件成立，其余三个条件必成立。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弦相等、弧相等。
3．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
三、圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半。
推论：1、直径所对的圆周角是直角；
2、如果圆周角是直角，它所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
3、直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半；
4、如果一个三角形的一条边上的中线，等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
5、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
6、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
7、一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角，小于它所对的圆内角。
8、圆内接四边形对角互补，一个外角等于它的内对角；
初三寒假数学补习 2
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培优班初三寒假数学
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