第五讲导数基础知识的应用。
1、教学目标。
1、利用函数单调性求参数取值范围。
2、会求简单函数中的含参范围。
2、教学重难点。
教学重难点：参数取值范围的求解。
3、典型例题。
考点。一、根据单调性求参数的范围
例1、已知在r上是减函数，求的取值范围。
练习1、已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围。
解析】因为f′(x)＝2x＋－a，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2x＋－a≥0在(0,1)上恒成立，即a≤2x＋恒成立。
又2x＋≥2 (当且仅当x＝时，取等号).
所以a≤2，故a的取值范围为(－∞2].
已知函数在区间(m，0)上是减函数，则m的取值范围是。
考点。二、利用函数的极值求参数。
例2、已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
1)试求常数a，b，c的值；
2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由。
解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因为x＝±1是函数f(x)的极值点，所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根。
由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. ③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
2)由(1)得f(x)＝x3－x，所以当f′(x)＝x2－＞0时，有x＜－1或x＞1；
当f′(x)＝x2－＜0时，有－1＜x＜1.
所以函数f(x)＝x3－x在(－∞1)和(1，＋∞上是增函数，在(－1,1)上是减函数。
所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
例3、已知f(x)是三次函数，g(x)是一次函数，且，f(x)在x=1处有极值2，求f(x)的解析式和单调区间。
练习2、已知函数，仅当x=－1及x=1时取得极值，且极大值比极小值大4，求a、b的值。
练习3、函数在时， 有极值10, 那么的值。
已知在[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，考点。
三、函数单调性、极值、最值综合问题。
例4、设函数（a<0）若曲线的斜率最小的切线与直线。
平行，求：ⅰ）a的值；
ⅱ）函数f（x）的单调区间。
练习4、已知函数，函数的图像在点的切线方程是．
ⅰ）求函数的解析式；
ⅱ）若函数在区间上是单调函数，求实数k的取值范围。
考点。四、导数中的含参问题。
例5、已知函数。
1）当时，求曲线在点处的切线方程；
2）若在区间上是减函数，求的取值范围。
练习5、已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数。
1）若函数在处有极值，求的解析式；
2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围。
例6、已知函数在处有极小值2.
1）求函数的解析式；
2）若函数在只有一个零点，求的取值范围。
例7、已知函数。
2、当a=1时，求在区间上的最大值和最小值；
3、若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求a的取值范围。
例8、已知。
1）若在点（2，f（2））处的切线与轴垂直，求的值；
2）当时，求在区间（0,2]上的最小值。
例9、已知函数。
1）设曲线在点（1，f(1)）处的切线与直线平行，求的值；
2）若在上恒成立，求的取值范围。
例10、设函数。
1）若函数在r上单调递减，求的取值范围；
2）当时，求的最小值。
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