2013寒假导数（三）
1． 单调区间、极值、最值。
1. 导数值大于等于零，函数单调递增切线斜率大于等于零，函数单调递增。
导数值小于等于零，函数单调递增切线斜率小于等于零，函数单调递减。
思考：为什么？
2. 极值：
思考：（1）极值处导数等于零，那么导数等于零处是不是极值？
（2）极值和最值的关系？
练习1：求下列函数的单调区间。
1） f(x)= ex－＋2
2） f(x)= 1
3） f(x)=＋
4） f(x)=＋
5） f(x)=＋
6） f(x)=
练习2 ：求下列函数的极值。
1）f(x)=＋
2）f(x)=－
3）f(x)=
4）f(x)=
练习3：画出下列函数的大致图像。
1）f(x)=＋
2）f(x)=
3）f(x)=
4）f(x)=
二． 不等式问题。
例1：设函数。
（ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围。
解：（ⅰ令得的单调递增区间为（a,3a）
令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）
当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b.
（ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数的对称轴 （放缩法）
即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数。 （9分）
于是，对任意，不等式①恒成立，等价于。
又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系。
例2 已知，函数．
ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；
ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．
解。（ⅰ）是偶函数，∴.此时，，
令，解得。列表如下：
可知：的极大值为的极小值为。
函数是上的单调函数，，在给定区间r上恒成立判别式法。
则解得。综上，的取值范围是。
例3 已知函数。
（i）求的单调区间；
（ii）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。i）
当且仅当时取“=”号，单调递增。
单调增区间：
单调增区间：
ii）当则是上述增区间的子集：
1、时，单调递增符合题意。
综上，a的取值范围是[0，1]。
练习。1.是的导函数，则的值是。
2. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则。
3. 已知在r上是减函数，的取值范围是。
4. 设函数在及时取得极值。
1）求a、b的值；
2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。
答案 3 ； 3；
4. 解析：（1），因为函数在及取得极值，则有，．即，解得，。
2）由（ⅰ）可知，，。
当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。则当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以 ，解得或，因此的取值范围为。
答案：（1），；2）。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤：①求导数；
求的根；③将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。
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