一、选择题。
1. （2013·辽宁高考理科·ｔ12）设函数满足则x>0时，f(x)（
有极大值，无极小值有极小值，无极大值。
既有极大值又有极小值既无极大值也无极小值。
解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。
解析】选d.由题意知，由得，当时，即，则当时， ,故在(0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值。
2. （2013·新课标ⅰ高考文科·ｔ12）与（2013·新课标ⅰ高考理科·ｔ11）相同。
已知函数，若，则的取值范围是（ ）
abcd.
解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用在处的切线为制定参数的标准。
解析】选d.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示，当时，，，故。
当时，， 由于上任意点的切线斜率都要大于，所以，综上。
3. （2013·新课标全国ⅱ高考文科·ｔ11）与(2013·新课标全国ⅱ高考理科·t10)相同。
设已知函数，下列结论中错误的是（ ）
a.， b.函数的图象是中心对称图形。
c.若是的极小值点，则在区间单调递减。
d.若是的极值点，则。
解析】选c.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导。
a项，因为函数f(x)的值域为r,所以一定存在x0∈r,使f(x0)=0,a正确。b项，假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量将函数的图象平移，则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数，所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对x∈r恒成立，故3m+a=0,得m=-,n=m3+am2+bm+c=f ,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为，故y=f(x)的图象是中心对称图形，b正确。
c项，由于=3x2+2ax+b是二次函数，f(x)有极小值点x0,必定有一个极大值点x1,若x14.（2013·安徽高考文科·ｔ10）已知函数有两个极值点，，若，则关于的方程的不同实根个数是 (
a.3 b.4 c. 5 d.6
解题指南】先求函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数。
解析】选a。因为，函数的两个极值点为，所以，所以是方程的两根，所以解方程得，由上述可知函数f(x)在(-∞x1),(x2,+∞上单调递增，在(x1,x2)上单调递减。又f(x1)=x1数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根，f(x)=x2有一个实根，所以不同实根的个数为3.
5.（2013·安徽高考理科·ｔ10）若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是 (
a.3 b.4 c. 5 d.6
解题指南】先求函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数。
解析】选a。因为，函数的两个极值点为，所以，所以是方程的两根，所以解方程得，不妨设由题意知函数f(x)在(-∞x1),(x2,+∞上单调递增，在(x1,x2)上单调递减。又f(x1)=x1数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根，f(x)=x2有一个实根，所以不同实根的个数为3.
6.（2013·湖北高考理科·ｔ10）已知为常数，函数有两个极值点，则（ ）
ab. cd.
解析】选d.，令，由题意可得有两个实数解x1,x2函数g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点。
g(x)在(0,+∞上的唯一的极值不等于0, g'(x)= 2a= .
当a≤0时， >0,单调递增，因此g(x)=至多有一个零点，不符合题意，应舍去。
当a>0时，令=0,解得x=
因为，函数g(x)单调递增；
时， 函数g(x)单调递减。
所以x=是函数g(x)的极大值点，则g>0,即ln+1-1=-ln(2a)>0,所以ln(2a)<0,所以0<2a<1,即0因为0所以f'(x1)=lnx1+1-2ax1=0,f'(x2)=lnx2+1-2ax2=0.
则f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)
x1(ax1-1)<
f(x2)=x2(lnx2-ax2)=x2(ax2-1)>1×
7. （2013·天津高考文科·ｔ8）设函数。 若实数a, b满足， 则。
a. b.
cd. 解题指南】先由确定a,b的大小，再结合的单调性进行判断。
解析】选a. 因为所以在其定义域内是单调递增的，由知又因为，，故在上也是单调递增的，由知，所以，，因此。
8.(2013·浙江高考理科·t8)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则 (
a.当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值。
b.当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值。
c.当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值。
d.当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值。
解题指南】当k=1,2时，分别验证f'(1)=0是否成立，根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点。
解析】选c.当k=1时，f′(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f'(1)≠0,故排除a,b;当k=2时，f'(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f'(1)=0,在x=1附近左侧，f'(x)<0,在x=1附近右侧，f'(x)>0,所以x=1是f(x)的极小值点。
9.(2013·浙江高考文科·t8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象是 (
解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质。
解析】选b.因为f'(x)>0(x∈(-1,1)),所以f(x)在(-1,1)为增函数，又x∈(-1,0)时，f'(x)为增函数，x∈(0,1)时，f'(x)为减函数，所以选b.
10. （2013·大纲版全国卷高考文科·ｔ10）
已知曲线（ ）
a. b. c. d.
解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出的值。
解析】选d.由题意可知，点在曲线上，因为，则，解得。
11.（2013·大纲版全国卷高考理科·ｔ9）若函数在是增函数，则的取值范围是（ ）
a. b. cd.
解题指南】先求出的导函数，利用时确定的取值范围。
解析】选d. ，因为在上为增函数，即当时，.即，则，令，而在上为减函数，所以，故。
二、填空题。
12. （2013·广东高考文科·ｔ12）若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a= .
解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识，可先求导。
解析】对y=ax2-lnx求导得，而x轴的斜率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为，解得。
答案】.13. （2013·新课标ⅰ高考理科·ｔ16）若函数的图像关于直线对称，则的最大值为___
解题指南】首先利用数的图像关于直线对称求出的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解。
解析】因为函数的图像关于直线对称，所以，得，又，而，.
得即，解得，.
故，则。令，即，则或或。
当变化时，，的变化情况如下表：
14.（2013·江西高考理科·ｔ13）设函数f(x)在（0，+∞内可导，且f(ex)=x+ex，则。
解题指南】先求出函数f（x）的解析式，进而可求。
解析】设，则，故，，所以。
答案】215.（2013·江西高考文科·ｔ11）若曲线（α∈r）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则。
解题指南】根据导数的几何意义求出切线方程，再把原点代入。
解析】因为，所以令x=1得切线的斜率为，故切线方程为，代入（0,0）得。
答案】216. （2013·广东高考理科·ｔ10）若曲线在点处的切线平行于x轴，则k
解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识，可先求导。
解析】对求导得，而轴的斜率为0，所以在点处切线的斜率为，解得。
答案】-1.
故的最大值为。
三、解答题。
13.已知函数。
）求；）若。
解析】（）当时，令，得，.
当时，，在是增函数；
当时，，在是减函数；
当时，，在是增函数。
）由得。当，时，所以在是增函数，于是当时，.
综上，的取值范围是。
19.（2013·北京高考文科·ｔ18）已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.
1）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值。
2）若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点，求b的取值范围。
解题指南】（1）把已知条件转化为；
2）转化为y=f(x)的极值与b的关系。
解析】（1），由线在处的切线为，因此，于是，解得。
2）由（1）知，于是当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得极小值1.
因此b的取值范围为。
20.(2013·福建高考理科·t17)已知函数f(x)=x-alnx(a∈r)
1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点a(1,f(1))处的切线方程。
2)求函数f(x)的极值。
解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，求出切线方程，欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论。
解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞f′(x)=1-.
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