成都七中高2014级高二寒假作业。
教师寄语：亲爱的同学们，由于高二上期所学的立体几何、概率、统计、算法在高考中，只是解答题的前三道的位置中的一道。而高二下期将要学习的圆锥曲线和导函数与数列不等式的结合通常是高考题的最后两题，为了分散难点，减轻高二下学期的学习负担，也为了更好地突破圆锥曲线这道解答题，所以我们作出慎重的决定：
寒假中，所有同学都按照老师在课堂上所讲的椭圆的知识，先学习和理解好我们以下给出的2023年全国各省市有关椭圆的高考题，然后请同学们类比学习教材上对应的双曲线和抛物线，并按照已给出的椭圆的分类，自己用白纸罗列出双曲线和抛物线的各种题型，可以借助有关资料选题，但我们更希望同学们自己编写题目并给出解答，最好是一题多变，一题多解。
ps：寒假后返校时的入学考试，考查范围为：高二上期内容占三分之二，圆锥曲线（以椭圆为主）占三分之一。
一、小题题型：
1）椭圆定义的考查，学生要掌握椭圆的第一，第二定义，以及椭圆与其他圆锥曲线的综合简单应用问题。
例1：（2012全国）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为。
a． b． c． d．
例2：（2012山东）已知椭圆的离心率为。双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）
a） （b） （c） （d）
2）离心率的考查，往往结合焦半径公式或椭圆的端点（或焦点）三角形，利用椭圆的几何性质。
例3：（2012江西） 椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是a,b,左、右焦点分别是f1，f2。若|af1|，|f1f2|，|f1b|成等比数列，则此椭圆的离心率为。
3）焦点三角形的考查，往往结合椭圆的第一定义，此三角形周长一定；或在此三角形中利用正弦定理。
例4：（2012新课标）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
例5：（2012四川）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是。
二、解答题题型：
1）利用定**题。
关于线段长最值的问题一般两个方法：一种是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值，或用均值不等式来求最值。
例1：（2012福建）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。
ⅰ）求椭圆的方程。
ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试**：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
例2：（2012广东）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为；
1）求椭圆的方程；
2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由。
例3：（2012天津）（19）设椭圆的左、右顶点分别为，点p在椭圆上且异于两点，为坐标原点。
ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
ⅱ）若，证明：直线的斜率满足。
2）直线与椭圆相交问题。
常用分析一元二次议程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。
弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，
例4：（2012安徽）如图，分别是椭圆。
的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；
i）若点的坐标为；求椭圆的方程；
ii）证明：直线与椭圆只有一个交点。
例5：（2012重庆）如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形。
ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
ⅱ）过做直线交椭圆于p，q两点，使，求直线的方程。
例6：（2012北京）已知曲线。
1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与。
曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：，三点共线。
例7：（2012江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点p．
i）若，求直线的斜率；
ii）求证：是定值．
例8:（2012陕西）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．（1）求椭圆的方程；
2）设o为坐标原点，点a，b分别在椭圆和上，，求直线的方程．
3）“点差法”解题。“设而不求”的思想。
当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。
例9：（2012湖北）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足。 当点在圆上运动时，记点m的轨迹为曲线．
ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点。 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
例10：（2012浙江）如图，椭圆c：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点p(2，1)的距离为．不过原点o的直线l与c相交于a，b两点，且线段ab被直线op平分．
ⅰ)求椭圆c的方程；
ⅱ) 求abp的面积取最大时直线l的方程．
4）轨迹问题。
这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。
直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。
代入法：一个是动点q(x0,y0)在已知曲线f(x,y)=0，上运动，而动点p(x,y)与q点满足某种关系，要求p点的轨迹。其关键是列出p、q两点的关系式。
定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。
参数法：在x，y间的方程f(x,y)=0难以直接求得时，往往用(t为参数)来反映x，y之间的关系。
常用的参数有斜率k与角等。
例11：（2012辽宁）如图，椭圆，动圆。点分别为的左、右顶点，与相交于四点。
1）求直线与直线交点的轨迹方程；
2）设动圆与相交于四点，其中，.若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。
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