典例剖析。
知识点一椭圆定义的应用。
如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)内一点a，f1为左焦点，在椭圆上求一点p，使|pf1|＋|pa|取得最值．
解设f2为椭圆的右焦点，且直线af2与椭圆相交于p1、p2两点，点m是不同于点p1、p2的椭圆上的任意一点．
根据椭圆的定义知：|p1f1|+|p1f2|=2a，所以| p1f1|+|p1a|=|p1f1|+|p1f2|+|f2a|
2a+|f2a|.①
在△amf2中 ，|ma|<|mf2|＋|f2a|.
所以|mf1|＋|ma|<|mf1|＋|mf2|＋|f2a|.
因为m是椭圆上任意一点，所以|mf1|＋|mf2|＝2a，所以|mf1|＋|ma|<2a＋|f2a|.②
由式①、②知|mf1|＋|ma|<|p1f1|＋|p1a|.
p2f1|＋|p2a|＝|p2f1|＋|p2f2|－|af2|
2a－|f2a|.
而在△amf2中，|ma|>|mf2|－|f2a|，所以|mf1|＋|ma|>|mf1|＋|mf2|－|f2a|
2a－|f2a|，所以|mf1|＋|ma|>|p2f1|＋|p2a|.
由以上可知，点p1是使|pf1|＋|pa|取得最大值的点，而点p2是使|pf1|＋|pa|取得最小值的点．
知识点二求椭圆的标准方程。
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．
2)经过点a(，)b(0，－)
1)解方法一椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆定义知：2a＝＋＝10，所以a＝5.
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故椭圆标准方程为＋＝1.
方法二设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为c＝4，所以a2－b2＝c2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以＋＝1，所以a2＝25，所以b2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
2)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，设标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有。
解得又因为a>b，所以该方程组无解．
当椭圆焦点在y轴上时，设标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得。
所以方程为＋＝1.
综上知，所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
方法二设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，依题意有。
解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，即其标准方程为＋＝1.
知识点三根据方程研究几何性质。
求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
解将方程变形为＋＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a＝10,2b＝8，离心率e＝＝，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(4,0)，(4,0)．
知识点四根据几何性质求方程。
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1)长轴长是6，离心率是。
2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解 (1)设椭圆的方程为。
＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝6，a＝
b2＝a2－c2＝9－4＝5.
椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
2)设椭圆方程为(a>b>0)．
如图所示，△a1fa2为一等腰直角三角形，of为斜边a1a2的中线(高)，且|of|=c，|a1a2|=2b，c=b=3，∴a2=b2+c2=18，故所求椭圆的方程为，知识点五求椭圆的离心率。
如图所示，f1，f2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点m的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解方法一设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为f1 (c,0)，f2 (c,0)，m点的坐标为(c， b)，则△mf1f2为直角三角形．在rt△m f1f2中：
f1f2|2+|mf2|2=|mf1|2，即4c2+b2=|mf1|2.
而|mf1|+|mf2|=
整理得3c2=3a2 2 ab.
又c2=a2 b2，所以3b=2a.
所以，所以所以e=
知识点六直线与椭圆的位置关系问题。
当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离．
解由题意，得。
代入②，得9x2＋16(x＋m)2＝144，化简，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14 400.
当δ＝0时，得m＝±5，直线l与椭圆相切．
>0时，得－5当δ<0时，得m<－5，或m>5，直线l与椭圆相离．
知识点七中点弦问题。
已知点p(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求l的方程．
解设l与椭圆的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有。
两式相减，得kab＝
l的方程为：y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
考题赏析。1．(江西高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为f(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点p(x1，x2)(
a．必在圆x2＋y2＝2内。
b．必在圆x2＋y2＝2上。
c．必在圆x2＋y2＝2外。
d．以上三种情形都有可能。
解析 ∵x1＋x2＝－，x1x2＝－.
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝
e＝＝，c＝a，b2＝a2－c2＝a2－2＝a2.
x＋x＝＝<2.
p(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．
答案 a2．(浙江高考)如图所示，ab是平面α的斜线段，a为斜足．若点p在平面α内运动，使得△abp的面积为定值，则动点p的轨迹是( )
a．圆b．椭圆。
c．一条直线d．两条平行直线。
解析由题意可知p点在空间中的轨迹应是以ab为旋转轴的圆柱面，又p点在平面α内，所以p点的轨迹应是该圆柱面被平面α所截出的椭圆答案 b
1．设f1，f2是椭圆＋＝1的焦点，p为椭圆上一点，则△pf1f2的周长为( )
a．16b．18
c．20d．不确定。
答案 b解析 △pf1f2的周长为|pf1|＋|pf2|＋|f1f2|＝2a＋2c.因2a＝10，c＝＝4，周长为10＋8＝18.
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