1.程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为a，左、右焦点分别为f1、f2，d是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为( )
a. b. c. d.
解析：设点d(0，b)，a(－a,0)则＝(－c，－b)，＝a，－b)，＝c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.
答案：d2从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( )
a．[，b．[，c．[，d．[，
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)，根据对称性，知该矩形的面积为s＝4xy＝4ab()(2ab[()2＋()2]＝2ab，即划出的矩形的最大面积是2ab.根据已知，得3b2≤2ab≤4b2，即≤a≤2b，即≤≤，故e＝＝＝故选a.
9．在△abc中，|ab|＝|ac|，顶点a、b在椭圆＋＝1(a>b>0)上，顶点c为椭圆的左焦点，线段ab过椭圆的右焦点f且垂直于长轴，则该椭圆的离心率为。
解析：如图所示，由椭圆的对称性可知|ac|＝|cb|，又|ab|＝|ac|，△abc为等边三角形，ab过点f且垂直于x轴，|af|＝，在rt△afc中|cf|＝|af|＝·2c，b2＝2ac整理得：
e2＋2e－＝0解得e＝或e＝－(舍)．
11．从椭圆c1：＋＝1(a>b>0)和抛物线c2：x2＝2py(p>0)上各取两点，将其坐标记录于下表中：
1)求椭圆c1和抛物线c2的方程；
2)椭圆c1和抛物线c2的交点记为a，b，点m为椭圆上任意一点，求·的取值范围．
解：由题意得(－3)2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线c2的方程为x2＝4y.
把点(0，)，代入椭圆c1：＋＝1(a>b>0)，得。
解得。故椭圆c1的方程为＋＝1.
2)由得或所以a，b两点的坐标分别为(－2,1)，(2,1)．
设点m的坐标为(x0，y0)，因为点m为椭圆上任意一点，所以＋＝1，得x＝8－4y.
所以·＝(2－x0,1－y0)·(2－x0,1－y0)
(－2－x0)·(2－x0)＋(1－y0)·(1－y0)
x－4＋y－2y0＋1
(8－4y)－4＋y－2y0＋1
－3y－2y0＋5
－3(y0＋)2＋.
因为－≤y0≤，所以－1－2≤－3(y0＋)2＋≤.
所以·的取值范围为[－1－2，]．
12． (2012·重庆)如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a，左、右焦点分别为f1，f2，线段of1，of2的中点分别为b1，b2，且△ab1b2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
2)过b1作直线l交椭圆于p，q两点，使pb2⊥qb2，求直线l的方程．
解：(1)如图所示，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为f2(c,0)．
因△ab1b2是直角三角形，又|ab1|＝|ab2|，故∠b1ab2为直角，因此|oa|＝|ob2|，得b＝，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在rt△ab1b2中，oa⊥b1b2，故＝·|b1b2|·|oa|＝|ob2|·|oa|＝·b＝b2.
由题设条件＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20，因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2)由(1)知b1(－2,0)，b2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，又＝(x1－2，y1)，＝x2－2，y2)，所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－16＝－.
由pb2⊥qb2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
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