2013番禺实验中学高二数学寒假作业三。 2013.2.
班别姓名学号
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 函数的定义域为（ ）
a．rb． c． d．
2、设集合，，，则等于( )
ab． c． d．
3、的值是（ ）a b c d
4、如果直线与直线垂直，那么等于（ ）
abcd.
5、已知等差数列的公差为，若成等比数列， 则（ ）
a b cd
6、若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是（ ）
ab. cd.
7、已知函数则该函数的图象（ ）
a．关于点对称 b．关于直线对称
c．关于点对称 d．关于直线对称。
8、为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是。
a．30 b．60 c．70 d．80
9、若直线被圆截得的弦长为，则实数的值为（ ）
a．或 b．2或c．2d．
10、关于的方程的两实根为，若，则的取值范围为（ ）
a． b． c． d．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11、下图给出一个程序框图，其运行结果是。
12、的内角的对边分别为，若，,则等于。
13、在边长为25cm的正方形中挖去腰长为23cm的。
两个等腰直角三角形（如图），现有均匀的粒子散落。
在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是
14、设不等式组表示的平面区域为d，若直线上存在区域d上的点，则的取值范围是。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分12分）已知函数。
1)写出函数的单调递减区间；
2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．
16、（本小题满分12分）某大学经济学院上学期开设了《概率论与数理统计》，该学院共有2000名学生修习了这门课程，且学生的考试成绩全部合格(答卷存档)，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表，但优秀等级的男、女学生人数缺失，分别用x、y代替。
（1）若用分层抽样法在所有2000份学生答卷中随机抽取60份答卷进行比较分析，求在优秀等级的学生中应抽取多少份答卷？
（2）若x≥245，y≥245，求优秀等级的学生中女生人数比男生人数多的概率。
17、 (本小题满分14分)已知几何体a-bcde如图所示，其中四边形bcde为矩形，且bc＝2，cd＝，△abc是边长为2的等边三角形，平面abc⊥平面bcde.
1）若f为ac的中点，求证：ae∥平面bdf；
2）求此几何体a-bcde的体积。
18、已知，圆c：，直线过点(－2,0)
1）当直线与圆c相切，求直线的方程。
2）当直线与圆c相交于a、b两点，且时，求直线的方程。
19. (本小题满分14分)
已知数列中，，，其前项和满足（，（1）求数列的通项公式；
2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
20．(本小题满分14分)
已知二次函数f (x) =x2 – 16x + p + 3．
1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；
2）问是否存在常数q(q≥0)，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为。
12 – q．（注：区间[a，b](a＜b)的长度为b – a)
2013番禺实验中学高二数学寒假作业三。 (解答题答案)
15、（本小题满分12分）已知函数。
1)写出函数的单调递减区间；
2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．15、解：
为所求。（2），16、（本小题满分12分）某大学经济学院上学期开设了《概率论与数理统计》，该学院共有2000名学生修习了这门课程，且学生的考试成绩全部合格(答卷存档)，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表，但优秀等级的男、女学生人数缺失，分别用x、y代替。
（1）若用分层抽样法在所有2000份学生答卷中随机抽取60份答卷进行比较分析，求在优秀等级的学生中应抽取多少份答卷？
（2）若x≥245，y≥245，求优秀等级的学生中女生人数比男生人数多的概率。
16、解（1）由表可知，优秀等级的学生人数为：
x＋y＝2000－(370＋377＋380＋373)＝5002分。
因为，故在优秀等级的学生中应抽取15份答卷5分。
2）设“优秀等级的学生中女生人数比男生人数多”为事件a，优秀等级的男生人数为x，女生人数为y. …6分。
因为x＋y＝500， x≥245，y≥245，且x，y为正整数，则数组(x，y)的所有可能取值为：
245，255），（246，254），（247，253），…255，245），共255－244＝11个。 …8分。
其中满足y＞x的数组(x，y)的所有可能取值为：
245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），共5个，即事件a包含的基本事件数为510分。
所以，故优秀等级的学生中女生人数比男生人数多的概率是。
17 省略。
18、已知，圆c：，直线过点(－2,0)
1）当直线与圆c相切，求直线的方程。
2）当直线与圆c相交于a、b两点，且时，求直线的方程。
18、(本小题满分14分）
解：将圆c的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.
1) 当斜率存在时，设切线方程为：，即。
若直线与圆c相切，则有。
解得。 …即切线方程为…
当斜率不存在时， 切线方程为
2) 解法一：过圆心c作cd⊥ab，则根据题意和圆的性质，得。
8分。解得10分。
解法二：联立方程并消去，得。
设此方程的两根分别为、，则用即可求出a.）
直线的方程是和12分。
19. (本小题满分14分)
已知数列中，，，其前项和满足（，（1）求数列的通项公式；
2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
19解：（1）由已知，（，2分。
即（，）且．
数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴．4分。
2）∵，要使恒成立，恒成立，恒成立，∴恒成立．……6分。
ⅰ）当为奇数时，即恒成立7分。
当且仅当时，有最小值为1，∴．9分。
ⅱ）当为偶数时，即恒成立10分。
当且仅当时，有最大值，∴．12分。
即，又为非零整数，则．
综上所述，存在，使得对任意，都有．……14分。
20．(本小题满分14分)
已知二次函数f (x) =x2 – 16x + p + 3．
1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；
2）问是否存在常数q(q≥0)，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为。
12 – q．（注：区间[a，b](a＜b)的长度为b – a)
20、（1）∵二次函数f (x)= x2 – 16x + p + 3的对称轴是，∴函数在区间上单调递减，则函数在区间上存在零点须满足2分。
即(1 + 16 + p + 3)(1 – 16 + p + 3)≤0， 解得–20≤p≤124分。
当时，即0≤q≤6时，的值域为：[f (8)，f (q)]，即[p–61, q2 –16q + p + 3].
区间长度为q2 – 16q + p + 3 – p – 61) =q2 – 16q + 64 = 12 – q．
q2 – 15q + 52 = 0 ∴，经检验不合题意，舍去．……6分。
当时，即6≤q<8时，的值域为：，即[p – 61，p – 57]
区间长度为p – 57 – p – 61) =4 = 12 – q ∴q = 8．经检验q = 8不合题意，舍去。 …8分。
当q≥8时，的值域为：[f (q)，f (10)]，即 [q2 – 16q + p +3，p – 57].
区间长度为p – 57 –(q2 – 16q + p + 3) =q2 – 16q – 60 = 12 – q,q2 – 17q + 72 = 0 , q = 8或q = 9．经检验q = 8或q = 9满足题意．
所以存在常数q = 8或q = 9，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为12–q．
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