2013番禺实验中学高二数学寒假作业四。 2013.2.
班别姓名学号
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是( )
a．如果x c．如果x<2ab,那么x2．三角形全等是三角形面积相等的( )
a．充分但不必要条件 b．必要但不充分条件。
c．充要条件 d．既不充分又不必要条件。
3．下列四个命题中，真命题是( )
a．是偶数且是无理数 b．8≥10
c．有些梯形内接于圆 d．xr,x2x+1≠0
4．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( )
a．所有奇数的立方不是奇数 b．不存在一个奇数，它的立方是偶数。
c．存在一个奇数，它的立方是偶数 d．不存在一个奇数，它的立方是奇数。
5.设是椭圆的一个焦点，pq是经过另一个焦点的弦，则的周长是（ ）a．4ab.2ac.4bd.不确定。
6.若椭圆经过原点，且焦点分别为，则其离心率为（ ）
abcd.
7.（理）过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于a，b两点，若线段ab中点的横坐标为3，则|ab|等于（ ）a.10b.8c.6d.4
8.若双曲线＋＝1的离心率，则k的取值范围是（ ）
a. bc. d.
9.与y轴相切且和半圆x2+y2=4(0≤x≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）
a. bc. d.
10.过点m(2,0)的直线l与椭圆交于两点，设线段的中点为p，若直线l的斜率为，直线op的斜率为，则等于（ ）
abcd.－
11.如果方程＋＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）
a. b. c. d.
12.（理）直棱柱abca1b1c1中，若＝,=则=(
a． +b． +c．++d．+
13.（理）已知a，b，c三点不共线，对平面abc外的任意一点o，下列条件中能确定点m与a，b，c一定共面的是( )
a． =c． =2
c． =d． =
14.（理）若向量同时垂直向量和，向量=+ r, ,0)，则（ ）
a．∥ b． c.与不平行也不垂直 d．以上均有可能。
15.（理）以下四个命题中，正确的是( )
a．若=+,则p，a，b三点共线。
b．若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底。
cd．abc为直角三角形的充要条件是＝0
16.（理）已知=(+1,0,2),=6,21,2),∥则和的值分别为( )
a．, b．5,2 cd．5,2
二、填空题。
17.命题“若a=1,则a2=1”的逆否命题是。
是函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的。
19.全称命题“az,a有一个正因数”的否定是。
20.特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是。
21.设p：|5x1|>4；，则非p是非q的条件．
22.椭圆＋＝1的焦点分别是，点p在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么是的倍．
23.椭圆＋＝1的焦点分别是，过原点o做直线与椭圆交于a，b两点，若abf2的面积是20，则直线ab的方程是。
24.与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线方程是。
已知直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是 ．
25.（理）若=(2,3,1), 2,0,3), 0,2,2),则。
26.(理)已知g是abc的重心，o是空间任一点，若++＝则的值为___
27.（理）已知||=1,| 2,<,60,则| (2
三、解答题。
28.求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．
29．已知集合a=，b=，若a是b的必要不充分条件，求实数m范围．
30.给定两个命题，：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
31.（理）抛物线y=－x2与过点m(0,1)的直线l相交于a，b两点，o为原点，若oa和ob的斜率之和为１，求直线l的方程．
32.已知中心在原点，一焦点为f(0,)的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
33．是椭圆＋＝1的两个焦点，为椭圆上一点，且af1f2=45，求的面积．
34.若向量(+3)(75)，(4)(72)，求与的夹角．
35.（理）设，试求实数，使成立．
36. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, 为的中点，为的中点。
ⅰ）证明：直线；
ⅱ）求异面直线ab与md所成角的大小；
ⅲ）（理）求点b到平面ocd的距离。
37.已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．
1）求、的值；
2）若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．
38.（理）在长方体中，，，点在棱上移动，问等于何值时，二面角的大小为．
39. 正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，求与侧面所成的角．
40.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点。（1）求该椭圆的标准方程；
2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
2013番禺实验中学高二数学寒假作业四答案。 2013.2.
参***：15 cacca
6—11 cbcadd
12—16 ddbba
17．如果a2≠1,那么a≠1 18．充分必要条件 19．a0z,a0没有正因数。
20．每个三角形的三条中线不相等 21．即不充分也不必要。
22. 7倍 24.－＝1 －25．3 26．3 27．
28．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k1=,k2=,由a+2b=0,k1k2=()1,两直线互相垂直．
必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k1k2=()1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0．
29、a=，a是b的必要不充分条件，即ba．所以b=、b=或，当b=φ时，△=m28<0，∴．
当b=或时，，m无解．综上所述．
30．解：p真：对任意实数都有恒成立a=0或0≤a<4;
q真：关于的方程有实数根14a≥0a≤；
如果p正确，且q不正确，有0≤a<4,且a>,∴如果q正确，且p不正确，有a<0或a≥4,且a≤,∴a<0．所以(,0)∪(4)．
31.解：斜率不存在不合题意，设直线代入抛物线得。
有kr设点则＋＝1,由根与系数关系，解得直线方程．
32.解：设所求的椭圆为＋＝1，则=50
椭圆与直线联立有，由已知＝，根与系数关系带入得解得a2=75,b2=25．所以所求椭圆方程为＋＝1．
33.解：
34．由已知向量垂直列方程，解得2=2=2,∴cos<,>与夹角为60．
35．由成立，可建立方程组，解得．
36．以a为原点，分别以，，为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,0),b(0,a,0),a1(0,0, a),c1(a, a, a),由于=(1,0,0)是面的法向量，计算得cos<,>60．故与侧面所成的角为30．
37．设，以为原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，可求得平面的法向量为=(2x,1,2)．依题意．
舍去）．．38.方法一（综合法）
（1）取ob中点e，连接me，ne又。
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接， 所以与所成角的大小为。
（3）点a和点b到平面ocd的距离相等，连接op,过点a作。
于点q， 又，线段aq的长就是点a到平面ocd的距离， ，所以点b到平面ocd的距离为。
方法二(向量法)
作于点p,如图，分别以ab,ap,ao所在直线为轴建立坐标系。
设平面ocd的法向量为，则。
即 取，解得。
2)设与所成的角为，与所成角的大小为。
3)设点b到平面ocd的距离为，则为在向量上的投影的绝对值，由， 得。所以点b到平面ocd的距离为。
39. ：1）依题意，直线，不妨设设a（2t，t）、b（-2t，-t）（t＞0），由|ab|= 得。
所以 解得a=4,,b=2
2)由消去y得。
动圆与椭圆没有公共点，当且仅当。
解得|m|<3或|m|>5
动圆与直线没有公共点当且仅当即。
解。解得m的取值范围为。
40.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为。
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