2011-2012学年度高二上数学寒假作业1
班级学号姓名。
一．填空题：
1．抛物线的焦点坐标是。
2．函数的单调递减区间是。
3．以为圆心，半径为的圆的标准方程为 ．
4．空间点到坐标原点的距离是 ．
5．直线的倾斜角为，则实数等于 ．
6．已知直线：与直线：相互垂直，则实数等于 ．
7．已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积。
为 ． 8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数等于 ．
9．棱长为的正方体的外接球的表面积为 ．
10．曲线在处的切线方程为 ．
11．椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 ．
12．设为两个不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的序号是 ．
13．已知等腰梯形的三边分别与。
函数的图象。
切于点，且点的横坐标为，则此梯形的面积为 ．
14．若函数。
的图象经过四个象限的充要条件是 ．
二．解答题：
15.已知点和直线：．
求过点与直线平行的直线的方程；
求过的中点与垂直的直线的方程．
16.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，且分别是的中点．
求证：平面平面；
求三棱锥的体积．
17.椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过点与椭圆交于两点．
求的周长；若的倾斜角为，求的面积．
18.某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量关于行驶速度的函数解析式可以表示为：．已知甲、乙两地相距，设汽车的行驶速度为，从甲地到乙地所需时间为，耗油量为．
求函数及；求为多少时，取得最小值，并求出最小值．
19.若椭圆过点，离心率为，圆的圆心为原点，直径长为椭圆的短轴长，圆的方程为，过圆上任一点作圆的切线，切点分别为．
求椭圆的方程；
若直线与圆的另一交点为，当弦的长最大时，求直线的方程；
求的最大值与最小值．
20.已知r，函数．
若函数没有零点，求实数的取值范围；
若函数存在极大值，并记为，求的表达式；
当时，求证：．
2011-2012学年度高二上数学寒假作业1参***。
15．（1）的斜率为，因为，所以2分。
代入点斜式，得5分。
化简，得7分。
2)的中点坐标为，因为，所以9分。
代入点斜式，得12分。
化简，得14分。
16．⑴连结，因为是正方形，所以，因为，分别是，的中点，所以，所以4分。
因为平面，平面，所以，因为，所以，因为平面，所以平面平面8分。
14分。17．⑴由椭圆的定义，得，，又，所以，的周长．
又因为，所以，故的周长为6分。
由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为，故直线的方程为8分。
由消去，得10分。
设，解得，
所以14分。
18．⑴从甲地到乙地汽车的行驶时间为，……2分。
则。8分，由，得，列出下表：
所以，当时，取得极小值也是最小值．……15分。
答：当汽车的行驶速度为时，耗油量最少为．……16分。
19．⑴由题意，得所以。
所以椭圆的方程为4分。
由题意可知当直线过圆的圆心时，弦最大，因为直线的斜率一定存在，设直线的方程为6分。
又因为与圆相切，所以圆心到直线的距离为，……8分。
即，可得或，所以直线的方程为：或．……10分。
设，则，则，因为，又因为，所以16分。
20．⑴令，得，所以．
因为函数没有零点，所以，所以．……4分，令，得，或，当时，．列出下表：
当时，取得极大值6分。
当时，，在上为增函数，所以无极大值7分。
当时，．列出下表：
当时，取得极大值9分。
所以10分。
当时，，令，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数，所以当时，取得最小值13分。
所以，，所以，因此，即16分。
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