高一函数专题复习6——分段函数。
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内， 有不同的对应法则的函数， 它是一个函数， 却又常常被学生误认为是几个函数； 它的定义域是各段函数定义域的并集， 其值域也是各段函数值域的并集。 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用， 时常在高考试题中“闪亮”登场。
1．求分段函数的定义域和值域。
例1．求函数的定义域、值域。
解析】作图， 利用“数形结合”易知的定义域为， 值域为。
2．求分段函数的函数值。
例2．已知函数求。
解析】因为， 所以。
3．求分段函数的最值。
例3．求函数的最大值。
解析】当时， ,当时， ,当时， ,综上有。
4．求分段函数的解析式。
例4．在同一平面直角坐标系中， 函数和的图象关于直线对称， 现将的图象沿轴向左平移2个单位， 再沿轴向上平移1个单位， 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ）
解析】当时， ,将其图象沿轴向右平移2个单位， 再沿轴向下平移1个单位， 得解析式为， 所以， 当时， ,将其图象沿轴向右平移2个单位， 再沿轴向下平移1个单位， 得解析式， 所以， 综上可得， 故选a.
5．作分段函数的图像。
例5．函数的图像大致是（ ）
6．求分段函数得反函数。
例6已知是定义在上的奇函数， 且当时， ,设得反函数为， 求的表达式。
解析】设， 则， 所以， 又因为是定义在上的奇函数， 所以， 且， 所以， 因此。
从而可得。
7．判断分段函数的奇偶性。
例7．判断函数的奇偶性。
解析】当时， ,当时， ,当， ,因此， 对于任意都有， 所以为偶函数。
8．判断分段函数的单调性。
例8．判断函数的单调性。
解析】显然连续。 当时， 恒成立， 所以是单调递增函数， 当时， 恒成立， 也是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数； 或画图易知在上是单调递增函数。
例9．写出函数的单调减区间。
解析】, 画图易知单调减区间为。
9．解分段函数的方程。
例10．设函数， 则满足方程的的值为。
解析】若， 则， 得， 所以（舍去）, 若， 则， 解得， 所以即为所求。
10．解分段函数的不等式。
例11．设函数， 若， 则得取值范围是（ ）
解析1】首先画出和的大致图像， 易知时， 所对应的的取值范围是。
解析2】因为， 当时， ,解得， 当时， ,解得， 综上的取值范围是。 故选d.
例12．设函数， 则使得的自变量的取值范围为（ ）
ab. cd.
解析】当时， ,所以， 当时， ,所以， 综上所述， 或， 故选a项。
点评：】 以上分段函数性质的考查中， 不难得到一种解题的重要途径， 若能画出其大致图像， 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解， 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解， 使问题得到大大简化， 效果明显。
选做练习：1．函数的最大值是。
a．3b．4c．5d．6
2.已知是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
abcd）3．设，若，则的范围是（ ）
a． b． c． d．
4.已知，则=
5.设函数则不等式的解集是。
a． b． c． d．
6．若函数，若，则实数的取值范围是( )
a. b. c. d.
7.设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为。
8.函数是上的减函数，则的取围是。
9．对，记，函数的最大值为___
10.对实数和，定义运算“”：设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是。
a． b． c． d．
11．已知函数，若关于的方程有五个不等实根，则（ ）
ab. cd.2
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